I: - <) suivant les puissances ascendantes de z

. (ps 22 ie z TUE 13 RAS ONE LCA PAT PA AC Le ae (15) g(F) a

Si 2(z) est ou une fonction paire, ou une fonction impaire de z, c’est-

à-dire si l’une des fonctions o(z), :2(:) demeure inaltérée, tandis pv) g(v)

de #, et les coefficients des puissances smpaires de z s’évanouiront

que la variable : change de signe, alors "2 sera une fonction impaire

dans la formule (13), qui sera réduite à

la . o'(v) 3° o'(®)

(14) ar vo(v) 4 #o(r)

Pareillement, si, 0 étant une racine primitive de l'équation binôme

st,

même équation, la fonction *

le rapport : se réduit à 0, ou à une autre racine primitive de la

g'(:) (3) cera 3 par Üz, et le développement de V renfermera seulement les

ne variera pas quand on rempla-

puissances de 3 dont les exposants sont des multiples de », en sorte

qu'on aura

(15) PR Sn (0) Jè

pi—lo(e) on pt o(#)

Enfin, si le rayon vecteur À, mené à un point quelconque du contour de l'aire S, varie dans un certain rapport #, indépendant de p, ce contour se dilatera en demeurant semblable à lui-même; et si, pour des valeurs infiniment grandes de #, V devient infiniment petit, l’équa-

(m) æ Le A LA AUS . e Lion SIN SN? par es ….

transformera la fonction ©(:) en une fraction dont chaque terme

tion

sera le produit d’un nombre infini de facteurs. Ajoutons que, si l'aire S est celle d’un cercle, la fraction dont il s’agit devra être réduite à ce qu'on peut nommer sa valeur principale, c'est-à-dire à la limite vers laquelle elle converge, tandis que l’on fait décroitre indéfiniment le nombre des facteurs simples admis dans les deux termes, en faisant croître indéfiniment le rayon R du cercle et, par suite, le nombre des racines z,, z,, ..., 3’, =”, ... dont les modules sont inférieurs à À. é Si celles des racines de l’équation (1) ou (2) qui different de zéro

sont toutes inégales, les formules (9) et (16) donneront simplement

se à (: =) o(#)(o) oi 3, ÿ 3,

(17 Q 4 ne 17) pre POP ( 3 z rer À unter À 1 ni 2. °2

Si d’ailleurs la fonction #(z:) reste toujours finie pour des valeurs finies de z, les racines 3’, =”, ... disparaïitront, et les équations (17), (18)

se réduiront aux formules

o(”)(0) E 5 5 Ait (19) ph 3 (i—£)(iE)er,

(mn) : # FL (OT mi ra rl ia.

És2:5: 8 : pr

Les principes que nous venons d'établir s'appliquent immédiate-

ment aux fonctions inverses des intégrales qui renferment sous le signe Fa des fonctions rationnelles d’une variable . Pour qu’ils puissent être appliqués aux fonctions inverses des intégrales qui renferment sous le signe / des fonctions irrationnelles, par exemple des radicaux, il faut commencer par substituer à ces radicaux des fonctions continues. On y parvient sans peine en opérant comme il suit.

Si, en nommant r et p le module et l'argument de la variable imaginaire

3=æ+ yiZ= reri,

on désigne par 4 un nombre quelconque fractionnaire ou même irrationnel, et par & l'angle qui, étant renfermé entre les limites — =

T PE Er à vérifie la formule

langw — {ang p,

l'une des valeurs de la fonction irrationnelle qu'on obtiendra en élevant la variable z à la puissance du degré sera toujours représentée par l’un des trois produits

savoir, par le premier, si la partie réelle æ de = est positive; par le second, si l'on a æ<0, y >0o; par le troisième, si l'on a T0, y < 0. Cela posé, soit s une fonction assujettie : 1° à varier avec z par degrés insensibles ; 2° à représenter toujours une des puissances de z du degré x; et supposons que, pour une certaine valeur de =, s se réduise à celle des puissances de : du degré u, qui se trouve représentée par le produit |

(21) Qrhenvi,

ÿ étant une valeur de l’exponentielle e/#*i correspondante à une certaine valeur entière, positive, nulle ou négative, de k. Alors, z venant à varier par degrés insensibles avec æ et y, il suffira évidemment, pour obtenir s, de multiplier le produit (21) par Le facteur ei, toutes

sion È \ d ré te les fois que, æ venant à changer de signe, le rapport = — tangp pas sera de + + à — , et par le facteur e-"i, toutes les fois que, æ ve-

nant à changer de signe, le rapport L passera de — & à + .

Si l'on suppose, par exemple, 4 = >; s sera une racine de l'équation ES

0 sera l’une des quantités 1, — 1, i, —i; et si, pour une certaine valeur de z,ona Hd se Dre.

alors, z venant à varier par degrés insensibles, on devra, pour obtenir une valeur de s qui varie elle-même par degrés insensibles, multiplier

le produit re? par i, toutes les fois que le rapport = passera de + +

à —, et par — 1, toutes les fois que ce rapport passera de — + à + .

$ IL. — Applications.

Pour montrer une application fort simple des formules ci-dessus établies, supposons d’abord o(s) —=SsinTs.

Les diverses racines de l’équation &(z) — o seront toutes inégales et de la forme + 2, 72 étant un nombre entier quelconque. De plus, le nombre » des racines nulles étant réduit à l'unité, on aura

met g'(z) = TCoSTs, o'(0} = rt;

puis, en supposant le module À de la variable auxiliaire e — RePi compris entre les limites 2, » +1, et prenant

CotTre I F cotre An = TILL — = - dp,

pr—1 2 pi

‘#4 F ÿ \ à #4 } À Ê à ra hs \ Re, à sf

on tirera de la formule (19) du SI

(1) sinrz="rs (1 a) (- 2)U— a+ (: + 2) ( 2 )e-

ou, ce qui revient au même,

(2) SiNnrs =7%35(1 — 3

LE 7" LES — 214, Our Due | lu