IL

nz — © à sa valeur principale, c'est-à-dire à celle qu'acquiert l'expression (5) quand, après avoir posé »”= n»', on fait converger 7’ vers la limite +, on pourra présenter l'équation (4) sous la forme

(7) costs — II A

à Te metre

CEuvres de C. — S.1,t. XI. ut

Ajoutons que l’on peut déduire immédiatement de l'équation (1) ou (3), non seulement la formule (7), mais encore la suivante

b n = Z (8) ee: | (-) in 7 FEAR a + nb

la factorielle qui renferme le second membre étant supposée réduite à sa valeur principale. Il y a plus : en partant ou de la formule (8) ou des formules générales établies dans le $ FT, on pourra représenter une fonction entière ou même rationnelle quelconque de sinz et de cosz par une factorielle qui sera le produit d’une infinité de facteurs simples, ou par le rapport de deux produits de cette espèce.

Observons encore que, si l’on pose s = Siné, t—= CoSs,

s et 4, considérés comme fonctions de z, seront simplement deux variables assujetties : 1° à varier avec z par degrés insensibles ; 2° à

vérifier, quel que soit z, les deux équations

(9) ds = tds,

(10) SH PE 3° à prendre, pour z — o, les valeurs particulières (11) SE OS MEET

et que, pour obtenir la décomposition des fonctions s, { en facteurs simples, il suffira de leur appliquer les formules établies dans le $ I, après avoir déduit la périodicité de ces fonctions, les racines des équations sinz — 0, coss = 0, et l'indice de périodicité 27 de la variable z, des principes exposés dans les Comptes rendus de 1846, relativement à l'intégration curviligne des équations différentielles.

Appliquons maintenant nos formules à quelques-unes des transcendantes nouvelles qui représentent les fonctions inverses des intégrales

EXTRAIT N° 483. 323 curvilignes des équations différentielles, par exemple aux fonctions elliptiques; et, pour fixer les idées, supposons que 9(z) se réduise à ce qu'on nomme le sinus de l'amplitude de la variable 3, en sorte qu'on ait |

o(z) = Sin am.

Comme je l'ai remarqué dans le Mémoire du 12 octobre 1846, ce sinus sera, non pas la valeur de s que déterminé la formule

e21 ==f Va—s#)G— st)

dans laquelle on suppose # renfermé entre les limites o, 1, mais la valeur de s que fournira l'intégration de l’équation différentielle

(13) ds = t dz,

si l’on assujettit s et £ : 1° à varier avec z par degrés insensibles; 2° à

vérifier généralement l'équation finie

(14) E—(Gi—s)(—Æ2s),

3° à prendre, pour = — 0, les valeurs particulières (19) FES o en

Cela posé, faisons

1 k ù ET 1? Rif e E 0 2 1 (at—1}?(1— ktx1)?

I suffira d'appliquer à la détermination de s les principes établis dans les Comptes rendus de 1846, comme je l'avais fait dans les Mémoires dont ces Comptes rendus offrent des extraits, pour reconnaitre : 1° que s reprend la même valeur quand on remplace z par + 2 K + n'K'i +3, n, n' étant deux nombres entiers dont le premier est pair, ou par +nK+EnKkK'i—z,n étant impair; 2° que 2 se réduit à +1 dans le

premier cas, à — 1 dans le second. II en résulte que l'équation

a pour racines les valeurs de 2 comprises dans la formule LAREN Ki,

n, n étant deux nombres entiers quelconques. On prouvera de même q q P que l'équation

(17) are 01

a pour racines les valeurs de 3 de la forme +tnK+(n'+1t)K'i; et l’on conclura aisément de l'équation (13) que chacune des racines

trouvées est une racine simple de l'équation (r) ou (2). Cela posé, la formule (20) du $ I donnera

a sinam< = 4 Nr ri)

y . [:- nK+(n'+ oi

chacune des factorielles indiquées par la lettre IT étant le produit de tous les facteurs finis semblables à celui qui est mis en évidence, et qui correspondent à des valeurs entières de 7, n', positives, nulle ou négatives, et chaque factorielle étant d’ailleurs réduite à sa valeur principale.

On transformerait de la même manière en factorielles ou en rapports de factorielles les autres fonctions elliptiques, et même des fonctions rationnelles de ces fonctions. C’est, au reste, ce que j'expliquerai dans un nouvel article, où je donnerai d’autres applications des formules établies dans le S I.

TE PAR LES D CPS MERS RTS

mn VA td mg

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Rapport sur un Mémoire présenté à l’Académie par M. Purseux et intitulé : Recherches sur les fonctions algébriques.