C. R., T. XXXII, p. 276 (25 février 185r

Parmi les fonctions implicites d’une variable réelle ou imaginaire, celles qui représentent les racines réelles d'équations algébriques, et que l’on peut désigner, pour ce motif, sous le nom de fonctions algebriques, méritent d’être particulièrement étudiées. Les propriétés de ces fonctions et de leurs intégrales définies sont l’objet spécial des recherches de M. Puiseux. D'ailleurs, comme le reconnait l’auteur lui-même, ces recherches se trouvent, sur plusieurs points, intimement liées à celles que l’un de nous a publiées à diverses époques et qui ont été l’objet de divers Mémoires. Nous serons done obligés de rappeler quelques-uns des résultats obtenus dans ces Mémoires. On pourra ainsi mieux apprécier le caractère et l'importance des résultats nouveaux auxquels M. Puiseux est parvenu.

Concevons que, la lettre i désignant une racine carrée de — 1, l’on fasse correspondre à chaque valeur imaginaire d’une variable

3=x+iy

un point Z dont x et y représentent les coordonnées rectangulaires. Si l’on nomme fonction continue de z celle qui, obtenant, pour chaque valeur de z, une valeur unique et finie, varie par degrés insensibles avec la variable z, ou, ce qui revient au même, avec la position du point mobile Z, une fonction de z, qui restera continue, tandis que le point Z décrira une courbe continue PQR, ne pourra, pendant le mouvement du point Z, ni devenir infinie, ni changer brusquement de valeur; et l’on pourra en dire autant de toute fonction w qui restera continue, tandis que le point Z se mouvra d'une manière continue, sans sortir d’une aire S comprise dans un contour donné. D'ailleurs,

en s'appuyant sur les principes exposés par l’un de nous dans divers Mémoires ('), on peut démontrer que, si l’on résout une équation algébrique f(u,s)=o

dont le premier membre soit une fonction entière de w et de =, par rapport à u, l’une quelconque , des racines obtenues w,, u,, u,, sera fonction continue de z, dans le voisinage de toute valeur de s qui ne rendra pas la racine w, infinie ou équivalente à une autre racine w, de l'équation algébrique donnée.

Cela posé, concevons que l’on ait déterminé, dans le plan des æy, les diverses positions C, C’, C”, ... du point Z correspondantes aux diverses valeurs de z pour lesquelles l'équation algébrique donnée acquiert ou des racines infinies ou des racines égales; et traçons dans le même plan un contour fermé PQR qui serve de limite à une aire S dont les deux dimensions soient infiniment petites. Enfin, admettons que le point mobile Z décrive ce contour en partant de la position P, et tournant autour de l'aire S avec un mouvement de rotation direct, et que, pendant ce mouvement, la fonction w varie d’une manière continue, sans cesser de satisfaire à l'équation algébrique

(au, 53).

A l'instant où le point mobile Z, après avoir décrit le contour entier, reprendra sa position initiale P, la fonction w reprendra évidemment sa valeur primitive, si les pornts isolés C, C', C”,... sont tous extérieurs à l’aire S. Si, au contraire, l’un des points isolés C, C’, C”, ..., le point C par exemple, est intérieur au contour qui limite l'aire $, alors, au moment où le point mobile Z reprendra sa position initiale P, la fonction u acquerra généralement une valeur nouvelle. Donc alors, si la valeur initiale de u ést une certaine racine u, de l'équation algébrique, la valeur finale de w sera une autre racine w, de la même équation. En d’autres termes, une révolution du point mobile Z autour

(1) Woir les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, 1. H, p.109 et suiv.,

et les Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, t. XVII, p. 121 (OEuvres de Cauchy, S. H, T. XIHetS. I, T. VII, p. 151).

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EXTRAIT No 48%, 327 du point isolé C sur une aire S, dont les deux dimensions seront infiniment petites, aura pour effet de substituer à la racine u, une autre racine 4; et, comme w, peut être une racine quelconque de l'équation algébrique, il est clair qu’en vertu de la révolution dont il s'agit les diverses racines se trouveront substituées les unes aux autres, et, par conséquent, échangées entre elles suivant le mode indiqué par une certaine substtution. D'ailleurs une substitution quelconque peut tou- Jours être décomposée en facteurs où substitutions circulaires dont elle est le produit [voir les Comptes rendus, année 1845, t. XXI, p. 600 (‘)|]. Donc les racines &,, u,, u,, ..., eu égard aux échanges opérés entre elles pendant la révolution du point mobile Z autour du point isolé C, peuvent être distribuées, comme le dit M. Puiseux, en un certain nombre de systèmes circulaires.

Au reste, M. Puiseux ne s’est pas borné à déduire des principes établis par l’un de nous les diverses conséquences que nous venons d'énoncer : il a encore, et c'est là surtout ce qui constitue la nouveauté et l'importance de son travail, déterminé les substitutions qui expriment les échanges opérés entre les diverses valeurs de w, pendant la révolution du point mobile Z autour d’un point isolé C, correspondant à des racines égales de l'équation algébrique donnée. Le mode de détermination employé par M. Puiseux s'appuie sur une proposition qui peut être énoncée dans les termes suivants : Les valeurs de u qui deviennent égales entre elles quand le point Z coïncide avec le point C, acquiérent généralement, dans le voisinage de ce point, des accroissements infiniment petits; et, dans la recherche de celles qui se trouvent échangees entre elles, quand le point Z tourne autour du point C, on peut, sans inconvénient, réduire les accroissements dont il s'agit à des valeurs approchées, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur vis-à-vis les infiniment petits d'ordre moindre. Ajoutons que, st plusieurs valeurs de u deviennent infinies quand le point Z

coincide avec le point C, on pourra, dans le voisinage du méme point,

‘@) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. VII, p. 286. .

déduire la substitution qui indiquera les échanges à opérer, de la consideration des valeurs approchées de u, dans lesquelles on négligera les quantütés infiniment grandes d'un ordre moindre vis-à-vis des quantités infiniment grandes d'ordre supérieur. D'ailleurs, au lieu de recourir à cette seconde proposition, on peut, quand plusieurs valeurs de w deviennent infinies pour une valeur donnée ec de z, décomposer, comme l'a fait M. Puiseux, la fonction w en deux, dont l’une soit une fonction enère de z, et l’autre une fonction nouvelle # qui acquière des valeurs égales, mais finies, pour 5: — c.

M. Puiseux ne s’est pas borné à rechercher les propriétés des fonctions algébriques d’une variable imaginaire : il s’est encore proposé de déterminer les diverses valeurs de leurs intégrales définies et d’appliquer à cette détermination les principes généraux établis par l’un de nous dans les Mémoires déjà cités. Entrons à ce sujet dans quelques détails. |

Le Mémoire publié en août 1825 (‘), sur les intégrales définies prises en des limites imaginaires, détermine leur nature et met en évidence leurs principales propriétés. D’après ce qui est dit dans ce Mémoire, si l’on fait varier, par degrés insensibles, une fonetion donnée f(z) de la variable imaginaire

entre deux valeurs extrêmes z,, 3,, la valeur de l'intégrale définie [/(z) ds, prise entre ces limites, pourra dépendre en général, non seulement de ces valeurs extrêmes, mais encore de la série des valeurs intermédiaires, successivement attribuées à la variable z, par conséquent de la série des positions successivement occupées par le point mobile Z dont les coordonnées sont æ et y, ou, ce qui revient au même, de la ligne droite ou courbe tracée par ce dernier point. Chaque forme particulière assignée à cette ligne déterminera une valeur correspondante de l'intégrale définie (page 21). Mais, sous certaines conditions, deux valeurs de l'intégrale, correspondantes à deux

(1) OEuvres de Cauchy, S. WU, T: XV.

Sd cond EE Mo, de fé, à SA PORTE rai ge ie eo dd US Sd js bé ajuis

lignes distinctes, pourront être égales entre elles, et il suffira pour cela que la fonction /(æ) reste continue, tandis que la première ligne se modifiera par degrés insensibles, de manière à se transformer finalement en la seconde (page 5). A la vérité, dans le Mémoire de 1825, les deux lignes dont il s’agit sont censées renfermées dans l’intérieur du rectangle dont une diagonale a pour extrémités les points corres-.

‘pondants aux valeurs extrêmes de :. Mais la démonstration du théo-

rème énoncé est indépendante de cette circonstance particulière, qui n’est plus mentionnée dans les Mémoires publiés en 1846. Ainsi, par exemple, dans le Mémoire du 3 août 1846 (Comptes rendus, t. XXII, p. 253) (‘), il est dit expressément que, st une intégrale définie étant étendue à tous les points du contour qui enveloppe une certaine aire S, ce contour vient à varier, la valeur de l'intégrale ne sera point altérée, quand la fonction sous le signe É restera finie et continue en chacun des points successivement occupés par le contour variable. Comme on est libre de faire varier seulement une portion du contour donné, il est clair que le théorème ici énoncé subsiste pour un contour quelconque fermé ou non fermé. On peut ajouter, avec M. Puiseux, qu'il ne cessera pas de subsister, si le contour donné se transforme en une ligne courbe du genre de celles qui sont mentionnées dans les Comptes rendus de 1846 (séance du 12 octobre, p. 703) (?) et qui se coupent elles-mêmes en un ou plusieurs points.

Lorsque la fonction sous le signe f reste continue dans le voisinage d'un point quelconque situé à l’intérieur de l'aire S, on est libre de faire varier cette aire de manière à la rendre infiniment petite avec le contour qui l'enveloppe et avec l'intégrale JS) dz étendue à tous les points de ce contour. Donc, alors, cette intégrale, étendue à tous les points du contour donné, offre une valeur nulle.

Concevons maintenant que, l'aire S étant décomposée en plusieurs parties A, B, C, ..., on nomme (S) la valeur qu'acquiert l’intégrale JG) d3, lorsque le point mobile Z, après avoir parcouru le contour

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. X, p. 72.

(2) Zbid., S. I, T. X, p. 169. * OEuvres de C.— S.1,1. XI 42

de l'aire S avec un mouvement de rotation direct autour de cette aire, revient à sa position primitive, et(A),(B),(C), ... ce que devient(S) quand, au contour de l'aire (S), on substitue le contour de l’aire A,

ou B, ou C, ..., on aura (S)=(A)+(B)+(C)+.:.,

pourvu que la fonction f(z) reste finie en chaque point de chaque contour. | Vorr les Comptes rendus de 1846, séance du 21 septembre, p. 563 (1).

D'autre part, comme il est dit dans le Mémoire du 21 septembre 1846, la fonction f(z) peut devenir discontinue dans le voisinage de certaines valeurs de z correspondantes à certains points Q, R, ... de l’aireS, soit en devenant infinie, soit en changeant brusquement de valeur. Dans le premier cas, les points Q, R, ... sont nécessairement des points isoles P', P’,.... Dans le second cas, ils sont contigus les uns aux autres el situés sur une ou plusieurs lignes droites ou courbes O'O"..., dont les longueurs peuvent étre finies. Cela posé, on pourra generalement partager l'aire S en éléments À, B, ©, ... et a, b, ©, ..., les uns finis, les autres infiniment petits, les éléments finis À, B, C, ... étant choisis de manière que la fonction f(z) reste finie en chaque point de chacun d’entre eux, et les éléments infiniment petits à, b, ©, ... étant ou des surfaces qui s'étendront infiniment peu dans tous les sens autour des points isolés, ou des surfaces infiniment étroites, dont chacune renfermera dans son intérieur une des courbes O'O"... ou une portion de l’une de ces courbes. Ce partage étant

opéré, la formule ci-dessus rappelée donnera (S)=(a)+(b)+(c) +...,

puisque les intégrales correspondantes à des éléments finis À, B, C, ..…. de l'aire S s'évanouiront : et la détermination de l'intégrale (S) se trouvera réduite à la détermination des intégrales singulières (a), (b),

(e), ..., dont les valeurs, quand elles seront finies, sans étre nulles, se

(1) Œuvres de Cauchy, S. I, T. X, p. 142.

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