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déduiront du calcul des résidus, s'il s'agit d'éléments qui renferment les points isolés P', P”, ..., ou, dans le cas contraire, d'équations analogues aux formules établies ci-dessus (voir le Mémoire du 21 septembre, p. 560, 561 et 562) (!). Dans le Mémoire dont ce passage est extrait, et dont une partie seulement a été insérée dans les Comptes rendus, les intégrales singulières étaient dites du premier ou du second ordre, suivant que l’aire dont le contour était décrit par le point mobile Z offrait une dimension ou deux dimensions infiniment petites. Les intégrales que M. Puiseux nomme élémentaires ne sont autre chose que des intégrales singulières du premier ordre.

Les principes que nous venons de rappeler permettent de fixer aisément la valeur de l'intégrale JS) dz étendue au contour d’une aire quelconque S, ou même à une ligne de forme quelconque. Ainsi, en particulier, la méthode déduite de ce principe, dans le Mémoire du 26 octobre 1846, permet de réduire la détermination des intégrales curvilignes à la détermination d’intégrales rectilignes, non seulement dans le cas où f(z) serait une fonction explicite.de z, mais encore, comme il est aisé de le voir, dans le cas même où /(z) deviendrait une fonction implicite de 3. Il y a plus : cette méthode permet de réduire à l'intégration rectiligne la détermination des éntégrales curvtlignes d'un système quelconque d'équations différentielles.

Quand on se borne à l’évaluation des intégrales définies de la forme fu dz, étendues aux divers points d’une courbe continue, on doit surtout remarquer le cas où w est une fonction algébrique assujettie à vérifier une certaine équation

fs) Te

et à varier avec z par degrés insensibles ; alors, comme il est dit dans le Mémoire du 12 octobre 1846 (?), st le point mobile Z, aprés avoir effectue une, deux, trois révolutions dans une courbe fermée, revient à sa position

primilive P, l'intégrale 4 u dz étendue à la courbe entière, et déterminée

(1) OEuvres de Cauchy, S.1,T. X, p. 140, 141. (2) Zbid., SE, T. X; p. 153:

aprés la première, après la deuxième, après la troisième révolution, offrira des valeurs qui ne seront pas généralement égales entre elles. Néanmoins, si, après un certain nombre de révolutions du point mobile, la fonction u reprend la valeur qu'elle avait d'abord, à partir de cet instant les valeurs déjà obtenues de l'intégrale t — 1 u dz se reproduiront dans le même ordre, quelle que soit d’ailleurs la position initiale P du point mobile . Donc alors z sera une fonction périodique de t. Quant aux indices de périodicité, ils seront généralement représentés par des intégrales définies qui pourront se déduire d'un théorème précédemment énonce, savoir que, st la courbe enveloppe d’une certaine aire S vient à varier sans cesser de passer par le point P, l'intégrale SL u ds étendue à tous les points de la courbe ne variera pas, pourvu que la fonction u reste finie et continue

en chacun des points successivement occupés par la courbe variable.

Le théorème ici rappelé permet effectivement de réduire la détermination des indices de périodicité à l'évaluation de certaines intégrales singulières du premier ou du second ordre, et cette évaluation même à celle d’intégrales définies rectilignes. Ajoutons que, dans le cas où l'intégrale fu dz acquiert pour certaines positions du point mobile Z des valeurs infinies, les intégrales rectilignes introduites dans le calcul sont généralement du nombre de celles que l’un de nous a nommées zalégrales extraordinaires.

Après avoir montré comment on peut décomposer l'intégrale Ju dz étendue à une courbe quelconque en intégrales élémentaires ou singulières, M. Puiseux s’est proposé de déterminer, pour diverses formes de la fonction w supposée algébrique, les diverses valeurs de l’intégrale avec les divers indices de périodicité. Le cas où la fonction « devient rationnelle avait été déjà complètement traité par l’un de nous dans les Mémoires de 1846. Se réservant d’ailleurs de revenir plus tard sur ces questions (Comptes rendus de 1846, page 787) ("), il s'était borné, dans les autres cas, à indiquer la marche à suivre par

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. X, p. 196.

des applications (‘) des théorèmes généraux, dont quelques-unes seulement ont été insérées dans les Comptes rendus.

M. Puiseux a repris la question au point où les publications déjà faites l'avaient laissée. Après avoir rappelé, en les appliquant aux fonctions algébriques, des théorèmes déjà établis dans les Comptes rendus de 1846, il y a joint des propositions nouvelles dignes de remarque. Ainsi, par exemple, en supposant une fonction w de 3 réduite, par une valeur donnée de 5, à une racine déterminée d’une équation algébrique du degré m», et cette même fonction assujettie à varier avec = par degrés insensibles, M. Puiseux prouve que les diverses valeurs de l'intégrale curviligne et définie Juds, prise à partir de = =c, peuvent se déduire ou de l’une d’entre elles, ou de celles qu'on en tire quand à la racine donnée on substitue les autres racines, par l'addition d’intégrales curvilignes et définies du même genre, mais relatives à des contours fermés. Ainsi, encore, en supposant que la fonction u reprenne sa valeur initiale après une révolution du point mobile Z sur une courbe fermée qui renferme dans son intérieur tous les points isolés, M. Puiseux démontre que l'intégrale fu dz étendue à cette courbe entière pourra être exprimée à l’aide du résidu de la fonction w relatif à une valeur nulle de z. |

Après avoir ainsi développé et perfectionné la théorie générale des intégrales curvilignes des fonctions algébriques et de leur décomposition en intégrales élémentaires, M. Puiseux a consacré la dernière partie de son Mémoire à la détermination du nombre des diverses valeurs que peuvent acquérir ces intégrales, et du nombre des indices de périodicité, ou, autrement dit, des périodes distinctes qui peuvent s'ajouter à ces valeurs. Il observe avec raison qu'ici se présentent plusieurs questions, et en particulier les suivantes :

1° Trouver toutes les périodes distinctes qui appartiennent à une valeur de l'intégrale Ju dz;

(*) L'une de ces applications, relative aux fonctions elliptiques, et mentionnée aux pages 322, 323, sera reproduite par l’auteur dans un prochain article.

2° Reconnaître si chaque période appartient à toutes les valeurs de l’intégrale, ou seulement à une partie d’entre elles ;

3° Déterminer les valeurs de l'intégrale qui restent distinctes lorsqu'on fait abstraction des multiples entiers des périodes. |

M. Puiseux est parvenu à résoudre ces questions dans le cas déjà très étendu où l’on suppose une fonction entière de w équivalente à une fonction rationnelle de z.

Il trouve que, dans ce cas, u, étant une des valeurs de la fonction « déterminée par une équation algébrique du degré », l'intégrale prise à partir d’une origine donnée offre » valeurs distinctes auxquelles peuvent s'ajouter des multiples entiers quelconques, positifs ou négaüfs, de périodes dont le nombre est généralement égal au produit de m—1par 2 —1, x désignant le nombre des points isolés ou principaux. De plus, en s'appuyant sur l’un des deux théorèmes que nous avons ci-dessus rappelés, il prouve que le second facteur 7 — 1 peut être réduit à ? — 2, dans le cas où, & étant développable pour de

grands modules de 3 suivant les puissances ascendantes de -, le

terme proportionnel à la première de ces puissances s’évanouit.

En appliquant ces propositions, ou plutôt les méthodes desquelles on les tire, au cas spécial où l’on a m»m — 2, M.:Puiseux retrouve, non seulement les périodes et diverses propriétés connues des fonctions elliptiques, ces propriétés étant rendues manifestes par des formules analogues à celles que l’un de nous avait établies dans les Mémoires de 1846, mais encore les périodes connues des fonctions abéliennes.

En résumé, M. Puiseux a non seulement ajouté de nouveaux développements et des perfectionnements nouveaux à la théorie des intégrales curvilignes des fonctions algébriques, mais, de plus, il a mis en évidence, avec beaucoup de sagacité, les lois suivant lesquelles les diverses valeurs d’une fonction algébrique se trouvent échangées entre elles quand la courbe qui dirige l'intégration tourne autour de

l'un des points qu’il nomme points principaux; enfin, il est parvenu

à déterminer généralement le nombre des valeurs distinctes et le nombre des périodes de certaines intégrales curvilignes, qui sont relatives à une classe très étendue de fonctions algébriques, et qui comprennent comme cas particulier les intégrales elliptiques et abéliennes.

Pour tous ces motifs, vos Commissaires pensent que le Mémoire de M. Puiseux est très digne d’être approuvé par l’Académie et inséré dans le Recueil des Savants étrangers.

PuysiQue. — Rapport sur un Mémoire présenté par M. Bravais, et intitulé : Études sur la Cristallographie.