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la dérivée relative à æ de l’exponentielle e*"*#i, et par le facteur i D,

IT qui sera, en général, très peu différent de l'unité. En remplaçant ce dernier facteur par l'unité, on n’aura généralement à craindre que des erreurs insensibles, et l’on simplifiera notablement les calculs.

En partant de ces principes, on trouvera, pour exprimer l'équilibre et les mouvements vibratoires des corps solides, des équations qui ne pourront devenir homogènes et isotropes, sans acquérir précisément la forme de celles que j'ai obtenues dans la théorie de la lumière. Par

suite, si l’on nomme

E, n, 6 les valeurs moyennes des déplacements infiniment petits d’un atome mesurés au bout du temps £, parallèlement à trois axes rectangulaires des æ, y, 3, les mouvements vibratoires d’un cristal isotrope seront représentés, dans le cas le plus général, par trois équations de la

forme | t6—=EE + FDsv + G(D:n—D,£),

(1) # ( Din = En+ FD,v+ G(D,6 — DE), . | DC = EË + FD, v + G(D,E — D,n),

v étant la dilatation du volume, déterminée par l'équation (2) v=D,E+D,n+ D.6, et, F, G étant des fonctions entières de la somme

D? + D? + DZ.

Pour que les formules (1) se réduisent à des équations homogènes et

du second ordre, il est nécessaire que G s’évanouisse, et qu ’en outre

les fonctions E, F soient de la forme É—R(Di+D?+D?), F—4,

h, H étant des quantités constantes. Alors, à la place des formules (1),

on obtient les suivantes D?6 — k(D2 + D? + D2)E + AD,

{ Dan = (D? + D? + D?)n + AD,, | D}E = (DE + D; + D: + AD:v,

ns © nr

entièrement semblables à celles auxquelles j'étais parvenu dans Îles Exercices de Mathématiques. | En terminant cette Note, j'indiquerai un moyen simple d'obtenir, quand elles peuvent être réduites à des fonctions différentielles de &, n, ©, les composantes

des pressions supportées, en un point donné P d’un corps isotrope, et du côté des coordonnées positives, par trois faces parallèles aux plans des yz, des zx et des æy, supposés perpendiculaires lun à l’autre. En effet, soit p la pression supportée au point P par un élément s de surface, perpendiculaire à la droite qui forme avec les demiaxes des æ, y, z positives les angles dont les cosinus sont a, b, «, et nommons € l’angle formé par la direction de cette pression’avec une normale à l'élément de surface s. On aura, d’après ce qui a été dit dans le second Volume des Exercices de Mathématiques (4. H, p. 50) ("),

(4) p cos = a? + Wbb?+ Se + 2 Dbe+ 2 Era + 2Fab.

D'autre part, si l'élément de surface s est supposé offrir des dimensions qui soient très considérables quand on les compare aux distances qui séparent deux molécules voisines, et si, dans cette hypothèse, la pression p supportée en un point P de l'élément s varie très peu quand le point P vient à subir un très petit déplacement, les composantes &, #, €; #, 15, 3 €, P, € des pressions supportées au point P par trois plans parallèles aux plans coordonnés des yz, des zx et

des æxy, pourront être généralement considérées comme des fonctions

(1) OEuvres de Cauchy, S. WU, T. VIF, p. 70.

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linéaires des déplacements &, n, € et de leurs dérivées des divers ordres. Cela posé, le second membre de l'équation (4) pourra être considéré comme une fonction de

Don 0 D, D,, D; et bre

qui sera linéaire par rapport à &, n, C, entière par rapport à D,, D,, D.; enfin, homogène et du second degré par rapport à a, b, c. Cette fonction, devant d’ailleurs être isotrope, se réduira nécessairement, d’après ce qui a été dit ailleurs, à une fonction entière des sommes de Dé ED,n PDP: 0, «D:+ D, +<D, a+ b?+ r6?, D? + D; + Di, a( Din — D,6) + (Det — DE) + (DE — Don),

qui sera linéaire par rapport à &, n, €, et du second degré par rapport à a, b, c. Par suite, il faudra que l’on ait

({ pcosd = A(aD,+ bD,+cD:)(a6 + bn +) + (#+bt+#)(Ku+ 1)

te + J(aD, + bD,+ D.) [a(Dsn — DE) + b(DE — DE) +e(D,E — Don)], 1 étant une quantité constante, et #, K, J étant des fonctions entières de D? + D; + D;.

Cela posé, comme les valeurs de pcosè, fournies par les équations (4) et (5), devront être égales entre elles, quelles que soient les

b « x ’ valeurs des rapports =; =; elles devront encore être égales pour des

valeurs quelconques attribuées à a, b, c. On aura donc, par suite, (6) À = AD.E + Ko + 1+ JD, (Din — D,E), et

(7) ® = ;k(D:n + D,£) ne 3J{D,(D,E — Den) + D.(D:X — D.ë)],

Si, dans une première approximation, on néglige les termes qui renferment des dérivées de £, n, € d’un ordre supérieur au premier, les formules (6) et (7) se réduiront aux suivantes

(9) P=Hk(Din+D,t), € =A(DSE+ DE), É —Hk(D,E+ Den), OEuvres de C. — S.1,1.XI. 44

k, K, 1 étant des coefficients constants, et deviendront ainsi semblables à celles que j'ai obtenues dans les Exercices de Mathématiques

(HAE, p.327) 672

Paysique. — Rapport sur divers Mémoires de’ M. WERTHEM.