C.R., T. XXXIL, p. 326 (3 märs

L'Académie a soumis à notre examen divers Mémoires de M. Wertheim, qui ont pour objet l'équilibre des corps solides homogènes, la propagation du mouvement dans ces corps, la torsion des verges homogènes, les vibrations des plaques circulaires, et la vitesse du son dans les liquides. La pensée dominante qui a dirigé l’auteur, dans les expériences dont ces Mémoires offrent le tableau et dans les calculs qu'il y exécute, a été de déterminer les coefficients que doivent renfermer les formules générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides homogènes et isotropes, ou plutôt le rapport entre les deux coefficients contenus dans ces formules. Entrons à ce sujet dans quelques détails. |

Si l’on considère un corps solide et homogène comme un système de points matériels sollicités par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, on trouvera, pour représenter l'équilibre ou le mouvement de ce corps, trois équations distinctes. Ces trois équations, que Navier et d’autres auteurs avaient obtenues sous des formes restreintes par certaines conditions qu'ils s'étaient imposées, ont été plus tard données par l’un de nous, dans toute leur généralité. On à pu voir alors qu’elles renferment un grand nombre de coefficients, qui se trouvent aussi contenus dans les valeurs générales des composantes des pressions supportées par trois plans rectangulaires, et relatives

(1) OEuvres de Cauchy, S. WU, T. VIE, p. 339.

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soit à l’état d'équilibre, soit à l’état de mouvement. Toutefois ces divers coefficients se réduisent à deux, lorsque, en supposant le système isotrope, on réduit les équations d'équilibre ou de mouvement à des équations aux dérivées partielles, homogènes et du second ordre, en développant les différences finies des déplacements atomiques en séries, et en négligeant, dans les développements obtenus, les termes qui renferment des dérivées d’un ordre supérieur au second.

C’est à déterminer, à l’aide de l'observation, le rapport @ des deux coefficients que contiennent les équations de l'équilibre ou du mouvement, devenues homogènes et isotropes, que s’est appliqué M. Wertheim dans son Mémoire sur l'équilibre des corps solides homogènes. Dans les équations de Navier, le rapport © se réduisait au nombre 2. D'après les expériences faites par M. Wertheim sur des parallélépipèdes de caoutchouc, ce rapport est plus voisin de l'unité que du nombre 2, quand la dilatation est faible. On pouvait donc croire que le nombre 2 devait être remplacé par le nombre r. Mais il convenait de vérifier cette induction à l'aide d'expériences plus précises que celles auxquelles le caoutchouc peut être soumis. M. Wertheim y est parvenu, en suivant une méthode indiquée par M. Regnault, et qui consiste dans l'emploi de cylindres creux, dont la cavité intérieure communique avec un tube capillaire de verre. On remplit l'appareil d’eau privée d’air, et l’on mesure les allongements que des charges successivement croissantes font subir au cylindre, ainsi que l'abaissement de l’eau dans le tube capillaire. On connaît de cette manière le changement de volume de la cavité intérieure du cylindre, et l'on en déduit aisément, à l’aide d’une formule donnée dans les Exercices de Mathématiques, le rapport cherché.

Le rapport © une fois déterminé, on déduit de cette détermination diverses conséquences importantes relatives à la propagation du mouvement dans les corps solides, aux vibrations des plaques circulaires, aux vibrations longitudinales et aux vibrations tournantes des verges cylindriques, etc. On reconnait, par exemple, que le rapport entre le nombre » des vibrations longitudinales et le rapport »’ des vibrations

. . . à 8 n tournantes, dans les verges cylindriques, doit être 3 SN PACE à Mn

tandis qu'il devrait être 1,581, ... si l’on supposait 0 — 2. Or l’expé-

> LA “ ñn N/A rience a donné à Savart, pour valeur de —; le nombre 1,666, ...,

n' qui diffère très peu de 1,633, ... et confirme ainsi les conclusions auxquelles est arrivé M. Wertheim. Ajoutons que M. Wertheim ayant

lui-même exécuté de nouvelles expériences sur des verges de fer, de laiton et d'acier fondu, a obtenu pour valeurs de L, les nombres 1,635, 1,621, 1,636, qui tous trois coincident sensiblement avec le nombre 1/3 = 1633,

Il suit encore de la théorie des corps élastiques qu’une masse illimitée peut propager deux espèces de vibrations, les unes longitudinales, les autres transversales, auxquelles correspondent deux espèces d'ondes dont les vitesses seront entre elles dans le rapport de ÿ3 à l'unité, si l'on suppose @ — 2, et dans le rapport de 2 à 1, si l’on suppose @ == r. Or, en faisant vibrer fortement une verge de verre ou de métal de forme quelconque, on obtient, outre le son longitudinal et fondamental, un autre son qui est l’octave grave du premier, et qui est produit par des vibrations transversales. Ce phénomène parait encore venir à l'appui des conclusions de M. Wertheim.

La seule objection grave que l’on ait opposée à ces conelusions est la suivante. |

Si le rapport © se réduit effectivement à l'unité, cette réduction doit subsister, quand la pression extérieure, dont ce rapport est supposé indépendant, s’évanouit. Or les formules générales qui ont été données comme propres à représenter les composantes des pressions supportées dans l’état d'équilibre par un plan quelconque ne fournissent des pressions nulles que dans le cas où l’on suppose @ — ».

La difficulté que cette objection présente semble insoluble au premier abord. Mais il importe d'observer que les formules qui expriment les conditions d'équilibre, ou les mouvements vibratoires d’un corps solide, et celles qui fournissent les composantes des pressions inté-

EXTRAIT No 487. 349

rieures, supposent chaque molécule réduite à un seul point. Si l'on suppose, au contraire, chaque molécule composée de plusieurs atomes, alors, suivant la remarque faite par l’un de nous, dès l’année 1839, les coeflicients compris dans les équations des mouvements vibratoires cesseront d’être des quantités constantes, et deviendront, par exemple si le corps est un cristal, des fonctions périodiques des coordonnées. Or, en développant ces fonctions et les inconnues ellesmêmes suivant les puissances ascendantes et descendantes des fonctions les plus simples de cette espèce, représentées par des exponentielles trigonométriques convenablement choisies, on obtiendra des équations nouvelles desquelles on déduira, par élimination, celles qui détermineront les valeurs moyennes des inconnues. D'ailleurs les équations définitives, trouvées de cette manière, seront encore des équations linéaires et à coefficients constants, qui ne pourront devenir isotropes et homogènes, sans reprendre la forme obtenue dans la première hypothèse. Mais le rapport entre les deux coeflicients que renfermeront alors les équations dont il s’agit ne deviendra pas nécessairement égal à 2, quand les pressions intérieures s’évanouiront, et l'on verra, par suite, disparaître l’objection proposée.

Une des conséquences qu’entraine la réduction du rapport @ à l’unité, c’est que la vitesse du son propagé dans une masse solide illimitée et la vitesse du son propagé linéairement dans un filet ou dans

à ä ER une verge de même matière sont entre elles dans le rapport de V = à

l'unité. M. Wertheim a trouvé que ce rapport subsistait quand on remplace les solides par des liquides; et, après avoir déterminé expé-

rimentalement la vitesse linéaire du son dans une masse d’eau limitée,

il lui a sufli de multiplier cette vitesse par V= pour obtenir la vitesse

du son dans une masse d’eau illimitée, et reproduire à très peu près le résultat auquel MM. Colladon et Sturm étaient parvenus par une voie toute différente.

En résumé, les Commissaires pensent que, dans les nouveaux Mémoires soumis à leur examen, M. Wertheim, après avoir donné une

solution expérimentale d’une question importante qui intéresse à la fois les physiciens et les géomètres, a discuté cette question avec la sagacité qu'il avait déjà montrée dans de précédentes recherches. En conséquence, la Commission est d’avis que ces Mémoires sont dignes d'être approuvés par l’Académie et insérés dans le Recueil des Savants etrangers. | |

ANALYSE. — Application du Calcul des résidus à la décomposition des

Jonctions transcendantes en facteurs simples (suite).