C. R., T. XXXIL p. 354 (17 mars
Soient, comme à la page 314, æ, y les coordonnées rectangulaires, r, p les coordonnées polaires, et
RER PI rePl}
la coordonnée imaginaire d’un point mobile Z. Supposons que ce point soit renfermé, avec l’origine O des coordonnées, dans une certaine aire S, terminée par un certain contour PQR. Soit, d’ailleurs, 2(z) une fonction de z qui demeure toujours continue, quand elle ne devient pas infinie, et admettons encore que le rapport différentiel de la fonction ©(z) à la variable = dépende uniquement des variables réelles +, y. Enfin, en supposant les équations
résolues par rapport à z, désignons par la lettre »# le nombre des racines nulles de l'équation (1); puis nommons ,, z,, ,, ... celles des autres racines de l'équation (1), et z', =”, z”, ... celles des racines de l'équation (2), qui représentent les coordonnées imagi-
EXTRAIT N° 488. Ponant naires de points d'arrêt situés dans l’intérieur de l'aire S. Si chacune des racines 3, 3,,3,, :../ 3’, 5", 3", ... est une racine simple, et si
"m l'on pose, pour abréger,
HE
l'équation (9) de la page 268 donnera
Las (3) p(3) = Hz" . =!
la valeur de V étant déterminée par la formule
(4) LR PL (1— €) de,
dans laquelle l'intégrale relative à v s'étend à tous les points du contour PQR qu'un point mobile est censé parcourir avec un mouvement de rotation direct autour de l'aire S. Il y a plus : pour étendre la formule (3) au cas où les équations (1) ou (2) offrent des racines multiples, il suffira d'admettre que, dans cette formule, plusieurs des racines 3, %,, %,, ..., OU 3’, 3”, 5", ... peuvent devenir égales entre elles.
Si le module de v, c’est-à-dire le rayon vecteur mené de l'origine O des coordonnées à un point quelconque du contour PQR surpasse
constamment le module de z, alors
sera développable suivant les puissances ascendantes de z, et, en posant, pour abréger, 1 g'(0) de
n NO TS ARA1,) @(v) v”
(5) Pros on trouvera
(6) V= = hs h,5— h;z —..
Concevons à présent que le contour PQR soit remplacé par un contour semblable, mais plus étendu 98, et que, dans le passage du premier contour au second, le rayon vecteur correspondant à un angle polaire donné varie dans le rapport de 1 à #. Alors, à la place de la formule (5), on obtiendra la suivante :
J 1 o'(ke) dv Le) ho - — ( / ). ñn onri k"—! 1 o(kv) o
Cela posé, si, en attribuant au nombre # des valeurs infiniment
grandes, on peut toujours les choisir de manière que le rapport
reste fini en chaque point du contour ®98, ces valeurs de # rendront infiniment petites les valeurs qu'on obtiendra pour k,, quand on supposera, dans la formule (3), # => 1; et, en nommant X la valeur de k,
tirée de la même formule, c’est-à-dire, en posant
AA EUR o'(ke) dv Ê nr RTC on trouvera, pour # — *,
(9) V—=— hz;:
par conséquent la formule (3) donnera
(10) Q(3) = Hz"
Si la fonction 9(z) est paire ou impaire, c’est-à-dire, en d’autres termes, si elle satisfait ou à la condition s À (3) ar 4 is 3),
ou à la condition p(z)=—p(— 2),
EXTRAIT N° 488. 353 alors, dans la formule (8), le rapport
Aa
pCke) sera une fonction impaire de », et, en faisant coincider le contour PQR avec une courbe ou avec un polygone qui ait pour centre l’origine O, on verra disparaître la constante L, représentée par une intégrale dont les éléments pris deux à deux seront égaux, au signe près, mais affectés de signes contraires. Cette constante étant réduite à zéro, l'équation (10) donnera simplement
o(3) — Hzm #, af à à NOR
Cette dernière formule comprend, comme cas particulier, l’équa-
tion (18) de la page 324.
Si, en attribuant à la constante Æ une valeur infiniment grande, on
peut choisir cette valeur de manière que le rapport
conserve en chaque point du contour ®28 une valeur finie, alors dans
la série h, he, REA las Ra+ts NE
les termes qui suivront À, s'évanouiront pour # — +, et comme on aura par suite
(12) V=h—h;3—h33—...—h,zr,
il est clair qu’à la place de la formule (10) on obtiendra la suivante :
fus (13) o(z) mms 5 @ Au ( > ) ehaz+h,z+...+ ns" (1-5) (5).
Dans d’autres articles je montrerai le parti qu’on peut tirer des for- OEuvres de C. — S.1,t. XI. 45
QU + D, Prés — | Lu te
mules (10), (11), (13) pour établir avec facilité, non seulement des théorèmes déjà connus, et en particulier ceux qui sont relatifs aux fonctions elliptiques, mais encore une multitude d’autres propositions dignes de remarque.
ANALYSE. — Memotre sur la sommation des termes de rang très éleve
dans une série simple ou multiple.
