C. R., T. XXXII, p. 389 (24 mars
$ 1 — Formules générales.
Quelques propositions établies dans le Tome IT des Exercices de Mathématiques (') permettent de calculer approximativement, dans certains cas, une somme de termes consécutifs de rang très élevé dans une série simple, et transforment la valeur approchée d’une telle somme en une intégrale définie. D'ailleurs, pour opérer de semblables transformations, il suffit de décomposer le terme général d’une série simple en deux facteurs dont l’un converge vers une limite finie, l’autre étant une puissance d’un nombre très considérable. Entrons à ce sujet dans quelques détails.
Soit f(x) une fonction de la variable réelle +. Supposons d’ailleurs qu'il soit possible d'attribuer au nombre / une valeur telle, que le produit :
x f(x) acquière une valeur finie, distincte de zéro, pour des valeurs réelles et infiniment grandes de æ. Alors, N étant un nombre très considérable, le produit
NEFUN ZE) se réduira sensiblement à une certaine fonction o(æ) de la variable æ.
(1) Œuvres de Cauchy, S. I, T. VIE, p. 268 et suivantes.
Cela posé, concevons que, v, ,v, étant deux quantités réelles de même signe, on nomme » l’un quelconque des nombres entiers compris
entre les limites n=,N, nv N
et
RSR AD 0), R,
ces mêmes nombres. Enfin nommons s la somme des termes correspondants à ces nombres dans la série qui a pour terme général /(2), en sorte qu'on ait n=n, (1) Be PONT:
: n = An, et posons encore
REIN et du 2 dE.
On aura sensiblement, pour de très grandes valeurs de N,
N'f(2)=9(), par conséquent
(2) S—N'-/S[æop(v)],
la fonction qu’indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs de comprises dans la suite
n n (3) ON+S N+r2@ ns à:
D'ailleurs, dans l'hypothèse admise, N venant à croitre indéfiniment, le premier et le dernier terme de la suite (3) s'approcheront indéfiniment des limites v,, v,, et la somme
S[æ o(v)] de la limite
4 e(v) dr.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Tnéorèue 1. — Soient N un nombre infiniment grand, et v,, v, deux
quantités finies, affectées du méme signe. Supposons d'ailleurs qu'il soit
possible de choisir le nombre l de manière que, pour des valeurs réelies et
infiniment grandes de x, le produit
acquière une valeur finie disuncte de zéro, et nommons o(x) ce que devient le produit N° f(Nx) quand N devient infini. Enfin nommons n, n, ceux des entiers compris entre les limites v,.N, v,N qui sont les
plus rapprochés de ces limites. Le rapport de la somme
