NA
à la quantité N' ‘se réduira sensiblement, pour de très grandes valeurs
V, L o(v) dy.
On établira de la même manière la proposition suivante :
de N, à l'intégrale définie
TaéorÈmE ÎT. — Sotent x, y deux variables réelles, f(x, y) une foncon de ces mêmes variables, et N un nombre infiniment grand. Supposons d’ailleurs qu'il sou possible de choisir l’exposant l de manière que, pour des valeurs réelles et infiniment grandes de x, y, le produit
N'f(Nz,Ny) conserve une valeur finie, et nommons o(æx, y) la limite dont cette valeur s'approche indéfiniment pour des valeurs croissantes de N. Soit encore A une aire terminée dans le plan des xy par un certain contour PQR, ou comprise entre deux contours pqr, PQR, et admettons que l'origine des coordonnées soit un point extérieur à l'aire À. Enfin, m, n étant deux nombres entiers quelconques, construisons la série double qui a pour
terme général f(m, n), et rnommons
S—Sf(m,n) la somme des termes de cette série correspondants à celles des valeurs de m et n qui sont de la forme
m=puN, n —=%N,
u et y étant les coordonnées d'un point situé dans l'interieur de l'aire A. Le rapport de la somme 8 à la quantité N° se réduira sensiblement à
l'intégrale double E LT 80e ») du dr,
étendue à tous les points de l'aire À.
Il est bon d'observer que la série qui a pour terme général /(m, n) se transformera en une série simple, si l’on attribue successivement au nombre entier » diverses valeurs, en laissant 7x invariable. Concevons, pour fixer les idées, que, » étant de la forme &N, et N très
considérable, la somme S—S/f(m,n)
s'étende à toutes les valeurs entières de 7-comprises entre les limites v,N, v,N, les quantités v,, v, pouvant être affectées du même
signe ou de signes contraires. Alors, en raisonnant comme dans le théorème TI, on trouvera sensiblement pour de grandes valeurs de N
Va (4) we =f o(1, v) dy.
Le théorème IT pourrait être évidemment étendu au cas où il s'agirait, non plus d’une série double, mais d’une série triple, quadruple, etc. Seulement alors on devrait remplacer les sommes ou intégrales doubles par des sommes ou intégrales triples, quadruples, etc., la quantité N° par la quantité N° ou N'-!, ..., et l'aire A par ce que nous avons nommé dans d'autres Mémoires un leu analytique.
Si l’on suppose dans le théorème I, ou dans la formule (4), {= 1, on trouvera
(5) à ‘"atr) ds
ou
(6) sf “Chi s) dr.
Pareillement, si l’on suppose dans le second théorème, = 2, on
trouvera (7) S=— ff e(r, v) du ds,
l'intégrale double étant étendue à tous les points de l’aire A; etc.
Les formules (5) et (7) comprennent, comme cas particuliers, celles que j'ai données dans le Tome II des Exercices de Mathémaaques, et celles qui ont été obtenues en Angleterre par M. Cayley, en Allemagne par M. Eisenstein.
Si, pour fixer les idées, on suppose, dans Le théorème I,
) AL FC
les constantes @, c étant réelles ou imaginaires, on trouvera
et la formule (5) donnera Pt Mare (8) s=2 f F=321(%)
Pareillement, si l’on suppose
ax +by+c
FA
a, b, c étant trois constantes et le rapport . étant imaginaire, on
trouvera
