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et la formule (6) donnera à RES tn (9) d — F; / sn ) e Le: Lis

(10) ss

Enfin, si l’on suppose

(az +by+c}

f(z, y) —= on aura

HAN Tr on

et la formule (7) donnera

de Nice

l'intégrale double étant étendue à tous les points de l'aire A. Si l'aire A est comprise entre deux contours pqr, PQR, et si l’on transforme les coordonnées 4, y, supposées rectangulaires, en coordonnées polaires, à l’aide d'équations de la forme

= rcosp, v=rsinp,

alors, en nommant v,, v, les valeurs de y correspondantes aux deux contours pqr, PQR, on obtiendra pour v, v, deux fonctions déterminées de l’angle polaire p, et l’on tirera de la formule (11), avec M. Cayley,

F I(v,)—1I(v,) ,(4Cc0sp + bsinp}*

(12) S — On aura donc

si le rapport =” “est constant, c’est-à-dire si les deux courbes sont sem-

blables l’une à l’autre.

Soient d’ailleurs s,, s, les valeurs de s que fournirait la formule (11), si l’on prenait successivement pour A l'aire renfermée dans le contour pqr, puis l’aire renfermée dans le contour PQR. La valeur de chacune des intégrales s,, s, dépendra généralement de l’ordre dans lequel seront effectuées les deux intégrations relatives aux variables g, v. Mais, si l’on suppose que cet ordre reste le même dans la détermination de 8, et de s,, alors à la formule (11) ou (12),

on pourra substituer la suivante :

Cette dernière formule sera d’un usage très commode; elle fournira, par exemple, avec une grande facilité, la valeur de $, si, le contour pqr étant réduit à une circonférence du cercle, le contour PQR est un rectangle dont les côtés soient parallèles aux axes des x et des y.

S II. — Application des formues obtenues dans le premier paragraphe.

Soit z = æ + yi la coordonnée imaginaire d’un point mobile Z; soit encore ®(z) une fonction de z qui demeure continue tant qu’elle ne devient pas infinie, et admettons que le rapport différentiel de o(3z) à z dépende uniquement des variables réelles +, y. Enfin, en supposant les équations

(2) pts) °

résolues par rapport à 3, désignons par / le nombre des racines nulles de l'équation (1); puis nommons z,, z,, z,, ... celles des autres racines de l'équation (1), et z’, z”, =", ... celles des racines de l’équation (2) qui représentent les coordonnées imaginaires de points situés dans l’intérieur d’une certaine aire S terminée par un certain contour PQR. Si ce contour peut être choisi de manière que, tous ses points étant situés à de très grandes distances de l’origine des coor- ?(s) p(<)

( 1 à fie bras reve — H 5" “ 2

I — — I — — + nt | pré )(e2) la valeur de /Z étant

données, le rapport conserve en chacun d'eux une valeur finie,

on aura (page 352),

et la valeur de k étant déterminée approximativement par la formule

(5) EUR pts) ds

dans laquelle l'intégration s'étend à tous les points du contour PQR qu'un rayon vecteur mobile est supposé parcourir avec un mouvement de rotation direct autour de Faire S. D'ailleurs la formule (5) sera d’autant-plus exacte que le contour dont il s'agit sera plus étendu, et deviendra rigoureuse si l’on substitue au second membre la limite vers laquelle il converge, tandis que la distance de chaque point du contour à l’origine des coordonnées devient infiniment grande.

Concevons à présent que l’on désigne par a, b deux constantes dont le rapport soit imaginaire, et supposons que la fonction 9(z:), étant doublement périodique, ne varie pas quand la variable 3 croît de la période a ou de la période b. Soient d’ailleurs

Bs V,5 Pys Vy

quatre quantités finies, les deux premières négatives, les deux dernières positives, et HN deux quantités entières positives, nulles ou négatives. Enfin, supposons que, N étant un nombre infiniment grand, on désigne par 72, et m, où par », et 2, celles des valeurs de »2 ou de », qui, étant renfermées entre les limites ,N, &,N ou entre les limites y N, v,N se rapprochent le plus de ces mêmes limites. On pourra, en désignant par 2 et s deux quantités finies, comprises entre les limites o, 1, choisir

ces quantités de manière que, pour une valeur de z de la forme (6) 3=a(m+p)+b(n+Ss), 9'(3)

o(3) valeurs de 3 que fournira l'équation (6) quand on y posera succes-

conserve une valeur finie, et, en nommant z,, z, les

le rapport

f Œuvres de C.— S.1,t. XI. 46

sivement 2 —n,, R—n,, On trouvera

(2) frs dz [": gs) y 4 de M pie)

< étant une fonction de z déterminée par la formule

(8) . ie ORD

Comme on aura d’ailleurs pour z = 3,

n=nN;-1 I

D'SiNtS dk DUR +p)+b(n+s)

la formule (10) du $ I donnera sensiblement, pour de grandes valeurs z = 3,+ 0b, 0 étant com-

D | Sn

de N, quand on supposera : — 5, ou même

pris entre les limites o, 1,

| 1( n°7 ( a : han ta an ue Fix x 6 Jesus b x

En conséquence, la formule (18) donnera sensiblement, pour de

grandes valeurs de N,

(a, à l +58) ; 3y (3) ds " 54) — y, ri “re o'(5)

Posons maintenant, pour abréger,

pe 2Ti 45 (3)

À sera, au signe près, un nombre entier, et l’on trouvera

| a ) . a I PAR) dz ne LL en ris a Su Ge) 9) ; nn 0(3) = — b

Cela posé, concevons que le contour PQN de l'aire S se réduise au

système de quatre droites correspondantes aux quatre valeurs de # qu'on obtient en posant successivement dans la formule (6)