C. R., T. XX XIE, p. 452 (31 mars

Le Mémoire dont nous allons rendre compte a pour objet principal la détermination générale de celles des fonctions à double période qui ne cessent jamais d’être continues tant qu'elles restent finies. Pour faire mieux saisir la pensée de l'Auteur, il convient de jeter d'abord un coup d'œil rapide sur la nature et les propriétés caractéristiques des fonctions à double période.

Supposons que, æ, y étant les coordonnées réctangulairés ou

obliques d’un point mobile Z, on trace dans le plan des æ, y un parallélogramme ABCD, dont les eôtés a, b soient parallèles, le premier à l'axe des æ, le second à l’axe des y. Divisons d’ailleurs le plan des x, y par deux systèmes de droites équidistantes et parallèles aux axes en une infinité d'éléments tous pareils au parallélogramme ABCD. Enfin soit e une fonction de +, y, qui offre une valeur déterminée pour chacun des systèmes de valeurs de +, y propres à représenter les coordonnées de points situés dans l’intérieur de ce parallélogramme. Une autre fonction &, qui, pour chacun des systèmes dont il s’agit, coinciderait avec la fonction +, sera ce qu’on doit naturellement appeler une fonction à double période, si elle ne varie pas, quand on fait croitre ou décroîitre l’abscisse æ d’un multiple de a, ou l’ordonnée y d'un multiple de b; et il est clair que, dans ce cas, w reprendra la même valeur quand on substituera aux coordonnées d’un point situé dans le parallélogramme ABCD les coordonnées d’un point homologue situé de la même manière dans l’un des autres parallélogrammes élémentaires. Si d’ailleurs on veut que la fonction uw satisfasse à la condition de rester toujours continue, tant qu’elle ne deviendra pas infinie, il ne suffira pas que cette condition se trouve remplie, quand le point Z sera intérieur au parallélogramme ; il sera encore nécessaire que « reprenne la même valeur quand, après avoir placé le point Z sur l’un des côtés du parallélogramme, on le transportera sur le côté opposé, en lui faisant décrire une droite parallèle à l’un des axes coordonnés.

Ajoutons que si la fonction u, supposée doublement périodique, est assujettie à la seule condition de rester finie et continue tant que le point Z est renfermé dans l’intérieur du parallélogramme ABCD, on pourra généralement la développer en une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes des exponen-

tielles CETTE eôri,

les valeurs de &, 6 étant

Supposons maintenant que, les coordonnées +, y étant rectangulaires, on nomme z une variable imaginaire liée aux variables +, y par la formule

=D + y te

La position du point mobile Z sera complètement déterminée par la coordonnée imaginaire =, et, pour que u soit fonction de +, y, il suffira que « soit fonction de 3. D'ailleurs, pour que la fonction de z, désignée par 4, soit doublement périodique, il suflira qu’elle reprenne la même valeur quand le point Z, supposé d’abord intérieur au rectangle ABCD, ira prendre la place de l’un quelconque des points homologues situés dans les autres rectangles élémentaires; en d’autres termes, il suffira que w reprenne la même valeur quand on fera eroitre ou décroître # d’un multiple de a, ou d’un multiple de bi; et cette condition pourra toujours être remplie, quelle que soit la forme de la fonction w pour les points intérieurs au rectangle ABCD.

Ce n'est pas tout : on pourra, aux deux périodes a et bi, supposées l’une réelle, l’autre imaginaire, substituer deux périodes imaginaires assujetties à la seule condition que leur rapport ne soit pas réel. Cela posé, concevons que l’on désigne par a, b, non plus deux quantités réelles, mais deux expressions imaginaires, dont le rapport ne soit pas réel. Pour que « soit une fonction de z doublement périodique, il suffira que « ne varie pas, quand on fera croître ou décroître z d’un multiple de a ou d’un multiple de D. Alors aussi a, b pourront être censés représenter en grandeur et en direction les côtés d’un parallélogramme élémentaire ABCD, et la fonction w sera entièrement connue, quand on la connaîtra pour chacune des valeurs/de z correspondantes aux points situés dans l’intérieur de ce parallélogramme.

D'après ce qu’on vient de dire, il est clair que, si a et b représentent les deux périodes de la variable z dans une fonction doublement périodique , la valeur de & correspondante au cas où le point mobile Z reste compris dans l'intérieur d’un parallélogramme élémentaire ABCD pourra être choisie arbitrairement. Si d’ailleurs cette valeur, arbitrairement attribuée à w, est toujours finie et continue

dans l'intérieur du parallélogramme, on pourra, de formules déjà connues, déduire l’expression analytique générale, propre à représenter la valeur de la fonction w supposée doublement périodique, quelle que soit la valeur attribuée à la variable z.

La fonction w, supposée doublement périodique, ne pourra plus être choisie arbitrairement pour les valeurs de z correspondantes aux divers points d’un parallélogramme élémentaire, si elle est assujettie à la condition de rester continue avec sa dérivée, pour des valeurs quelconques de z, tant qu’elle ne devient pas infinie (vorr la Note sur les fonctions de variables imaginaires, p. 301). Cette condition sera remplie, par exemple si w est l’une des fonctions elliptiques, ou même une fonction rationnelle de ces fonctions. Mais il importait de savoir quelle est la forme la plus générale que puisse prendre une fonction doublement périodique, quand on l’assujettit à la condition énoncée. Telle est l’importante question que M. Hermite s’est proposé de résoudre. La solution qu'il en a donnée s’appuie sur des propositions remarquables, déduites en grande partie des principes établis par l’un de nous dans divers Mémoires, et spécialement dans le Tome II des Exercices de Mathématiques. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

La variable imaginaire z étant censée représenter les coordonnées imaginaires d’un point mobile Z, désignons par F(z) une fonction doublement périodique de z, qui reste continue avec sa dérivée, tant qu'elle ne devient pas infinie; et soient a, b les deux périodes de z assujetties à la seule condition que leur rapport , ne-soit pas réel. Les quatre points

A: NT Ce D dont les coordonnées imaginaires seront

coincideront avec les quatre sommets d’un parallélogramme élémentaire ABCD, dont les côtés seront représentés, non seulement en grandeur, mais encore en direction, par les deux constantes &, b; et, si l'on pose

!, étant deux variables réelles, les valeurs de ©, correspondantes à des valeurs de 4, £’ comprises entre les limites o, 1, représenteront les coordonnées imaginaires de points renfermés dans le parallélogramme élémentaire ABCD. Le binôme : + at, en particulier, représentera les coordonnées imaginaires d’un point situé sur la droite AB: et si, pour tous les points de cette droite, la fonction de et de z, représentée par F(: + at), conserve une valeur finie, cette fonction, qui ne varie pas quand on y fait croître ou décroitre £ d’un nombre entier quelconque, pourra être développée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l’exponentielle

e?tti, Soit À, le coefficient de la mi" puissance de cette exponentielle dans

le développement de F(z + at), m étant positif ou négatif, mais entier. On aura

A, nn e?mRiF(z + at) dt ou, ce qui revient au même,

Ana I(3+ at) dt,

la valeur de II(T) étant done À Pare 6),

Htise 2h

u*x Le

et

Mo

Ff: + at) — > RACE,

par conséquent