PONS

En Le) AE,

D'ailleurs, la nouvelle fonction, désignée ici par I(£), ne variera pas quand on y fera croître € de a, et vérifiera évidemment la condition

(3) HS + 0) = qg "II ($),

la valeur dé g étant

Tb.

er et.

Enfin, si l’on suppose que la sommation indiquée par le signe x s’étende seulement aux diverses valeurs positives ou négatives de »2, la valeur » — o étant exclue, alors, à la place de la formule (2), on obtiendra la suivante |

nm = @

la valeur de A, étant

(5) A=f F(z + at) dt.

D'autre part, si l’on désigne par /(z) une fonction de z qui demeure continue avec sa dérivée, tant qu'elle reste finie; par (P, Q) la valeur de l'intégrale rectiligne

ff) ds,

étendue à tous les points de la droite qui a pour origine le point P et pour extrémité le point Q; par S l’aire du parallélogramme: élémentaire ABCD ; enfin, par (S) l'intégrale 16 dé, étendue à tous les points situés sur le contour de ce parallélogramme, on aura, NON SeU-

lement

(Q;PY=e (PO) et, par suite,

(6) (8) = (A BXE (BD) (0 D)2 00)

mais encore

(7) (S)=ari £ (SE),

le signe £ étant relatif aux seules valeurs de € qui représenteront les coordonnées de points renfermés dans le parallélogramme élémentaire ABCD. Cela posé, comme, en réduisant /(z) à la fonction doublement périodique F(z), on aura évidemment |

et, par suite, (Size, la formule (7) donnera

(8) LE ŒFE)=0.

Si, au contraire, on remplace /(s) par II(2), alors, en ayant égard à la formule (3), on trouvera

(M pD)=(A.C} (CG D} de CARE et, comme on aura

3+al (A,B)=f N()d&=a4,,

on tirera des formules (6) et (7)

(S)=a(i—g")A,— ami I(E); par conséquent,

(9) ren

a | gr

Il résulte immédiatement de cette formule, jointe à l'équation (4), que, si, en attribuant à = une valeur de la formule at + bt', et à 4, d' des valeurs réelles dont la seconde reste comprise entre les limites o, 1, on pose

m = 2mm(z—b); it. e x (10) 0(z mn > jme on aura 2Ti (11) N F(3) = A+ = LO(S+ 6 —E)(F(E),

le signe E étant relatif aux seules valeurs €,,€,, …., &, de la variable € qui vérifieront l'équation

(12) ; asie à

OEuvres de C. — S.1,t. XI. 47

et représenteront les coordonnées de points renfermés dans l’intérieur du parallélogramme élémentaire ABCD. D'ailleurs, on tirera de l'équation (10), en y remplaçant » par — m,

Supposons maintenant que les valeurs de É—=s+at+ bt,

désignées par €,, G, ..., Cu, se trouvent rangées d’après l’ordre de grandeur des valeurs correspondantes de £’. Soient, d’ailleurs,

Bi De À V2

les points dont &,, &, ..., &, représentent les coordonnées imaginaires. Si, dans le second membre de la formule (11), on attribue à = un accroissement Az tellement choisi, que le point A’ correspondant à la coordonnée imaginaire z + Az soit renfermé dans l’intérieur de la bande comprise entre la droite AB et la parallèle menée à cette droite par le point Z,, le terme,

Le 6 F(z+ at)dt

ne variera pas; mais, si le point A’ vient à franchir cette parallèle, le terme A, prendra un accroissement qui se déduira sans peine des formules (6), (7), et dont la valeur sera

2Ti