À LE

le signe £ se rapportant à la seule valeur €, de la variable €. Dans la même hypothèse, l'expression

DO: +b—E)(F(2)),

que renferme le second membre de la formule (11), se trouvera évi-

demment diminuée du terme correspondant à la valeur €, de €, et augmentée du terme correspondant à la valeur €, + b. Cela posé, il est clair que, si l’on assujettit 0(z) à vérifier généralement la condition

la formule (11) pourra être étendue au cas où le signe £ serait relatif aux valeurs de € qui représenteraient les coordonnées de points renfermés, non plus dans le parallélogramme élémentaire ABCD, mais dans le parallélogramme semblable A’B'C'D' avec lequel on peut faire coincider le premier en transportant les côtés parallèlement à eux-mêmes, et substituant au sommet A le sommet A’. Par suite aussi, on pourra, en supposant le terme A, réduit à une constante dans la formule (11), admettre que, dans cette formule, le signe se rapporte aux seules valeurs de € qui vérifient l'équation (12), et sont de la forme

(15) {— at + b#',

1, d'étant des variables réelles comprises entre les limites 0, 1.

En vertu de la formule (11), considérée sous ce point de vue, toute fonction de 3 qui, étant doublement périodique, reste continue avec sa dérivée, tant qu’elle ne devient pas infinie, se réduit à la somme d’un certain nombre de termes, dont chacun est proportionnel à une fonction de la forme

0(3— 3), z, étant une valeur particulière de z, ou bien encore à l'une des dérivées de cette mème fonction différentiée par rapport à s. Tel est le théorème fondamental obtenu par M. Hermite. Ajoutons que la fonction désignée ici par 0(z) a évidemment pour dérivée une fonction doublement périodique de 3. Si l’on désigne par #(z) cette dérivée, la fonction 9(2) restera continue aussi bien que 0(3), tant qu'elle ne deviendra pas infinie, et, par suite, rien n’empèchera de prendre pour F(s), dans la formule (11), ou la fonction #(:), ou une fonc-

tion rationnelle de 9(:). En réduisant effectivement F(z) au carré de o(:), M. Hermite obtient une équation qui sert à exprimer ce carré en fonction linéaire de o(z) et de #’(z); il en conclut aisément que le carré de 2’(z) est proportionnel au produit des trois facteurs

ot) —e( Th eee) ef),

et la transcendante 0(z) se trouve ainsi ramenée aux fonctions ellip-

tiques. Par suite aussi, l’on peut réduire à une fonction rationnelle de fonctions elliptiques toute fonction doublement périodique qui reste toujours continue avec sa dérivée, tant qu’elle ne devient pas infinie (‘).

En partant des formules que nous avons rappelées, et substituant aux périodes a, b les autres périodes qu’on peut introduire dans le calcul, en déplaçant les sommets du parallélogramme élémentaire ABCD, M. Hermite obtient successivement sous diverses formes la valeur de la transcendante 0(z). D'ailleurs, la comparaison des diverses formes ‘sous lesquelles se présente 0(2:), et de ses divers développements, permet à l’auteur d’établir un grand nombre de propositions nouvelles. L’une de ces propositions, très digne de remarque, est relative à l'intervalle dans lequel reste convergente la série qui représente le développement de la fonction 0(z) (?).

En résumé, les Commissaires pensent que, dans le travail soumis à leur examen, M. Hermite a donné de nouvelles preuves de la sagacité qu'il avait déjà montrée dans de précédentes recherches. Ils

(1) Déjà en 1844, M. Liouville avait obtenu, par une méthode très différente de celle qu'a suivie M. Hermite, et avait énoncé, en présence de ce dernier, la réduction ici indiquée.

(2) M. Hermite, après avoir fixé l'intervalle dans lequel le développement de la transcendante 0(z) demeure convergent, prouve que, dans le cas où cet intervalle atteint sa valeur maximum, le rapport entre cet intervalle et le plus petit côté d’un parallélogramme

élémentaire ne peut s’abaisser au-dessous de + M. Jacobi, dans une Lettre adressée

à M. Hermite, avait énoncé une proposition qui coïncide avec ce théorème, et qui s’appliquait à la transcendante @(3z).

pensent que ce travail est très digne d’être approuvé par l’Académie, et inséré dans le recueil des Mémoires des Savanits étrangers (").

Note de M. Aucusrin Caucuy relative aux observations présentées à l’Académie par M. Liouville.