C. R., T. XXXII, p. 452 (31 mars

Comme je l'ai fait voir dans les Comptes rendus de 1843, les formules générales que donne le Calcul des résidus, pour la transforma-

(1) Remarques de M. LioUVILLE.

Sans s'opposer aux conclusions du Rapport, M. Liouville croit devoir rappeler qu’il a, lui aussi, trouvé depuis longtemps une théorie générale des fonctions doublement périodiques, dont il a donné incidemment à l'Académie, dès 1844, à propos d'un Mémoire de M. Chasles sur la construction géométrique des amplitudes des fonctions elliptiques, une vue très nette qu’on retrouve au Tome XIX des Comptes rendus (page 1261, séance du 9 décembre 1844). « La méthode que j'ai suivie, dit M. Liouville, est si simple dans ses détails, qu’elle pourra, je crois, sans inconvénient, venir après d’autres, même analogues, mais qui n’ont pas, ce me semble, le caractère tout intuitif et élémentaire que j'ai donné à la mienne en nr'attachant à aller pas à pas du simple au composé, par la considération continuelle et toujours directe d'un seul principe. J'ai toutefois, on le comprend, un certain intérêt à établir, non pas que mon travail est ancien, cela résulte des Comptes rendus, mais que les détails principaux en ont été arrêtés depuis plusieurs années, et ont été communiqués très explicitement à divers géomètres français ou étrangers. Or j'ai chez moi, et je pourrai déposer sur le bureau avant la fin de la séance, une pièce manuscrite qui paraîtra concluante à cet égard. Deux géomètres allemands distingués, MM. Borchardt et Joachimsthal, pendant leur voyage à Paris en 1847, ont bien voulu sacrifier quelques heures pour entendre l'exposition de ma doctrine, et M. Borchardt a rédigé les Leçons que j'étais ainsi conduit à faire. J'avais permis à M. Borchardt de montrer celte rédaction à qui il voudrait, et j'ai su de lui qu'elle a été mise sous les yeux de M. Jacobi. Pressé par le temps, je n'avais pu parler des intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce. Mais cela importe peu. La classification des fonctions bien déterminées doublement périodiques, d’après le nombre des valeurs irréduetibles par les périodes, mais d’ailleurs égales ou inégales, qui les rendent infinies; la démonstration de ce théorème capital, que toute fonction de ce genre qui a moins de deux infinis doit se réduire à une simple constante; la proposition importante aussi, que le nombre des racines qui annulent la fonction est toujours précisément égal au nombre des infinis de cette fonction, et que, de plus, les sommes

tion et le développement des fonctions, peuvent être utilement appliquées à la recherche des propriétés des fonctions elliptiques. Il y a plus : comme je l’ai remarqué en 1844 (Tome XIX des Comptes rendus, page 1378) (‘), l’une de ces formules fournit le principe fondamental invoqué par M. Liouville pour les fonctions doublement périodiques, et le généralise même, en montrant que toute fonction F(z) de z, qui, offrant une dérivée unique pour toute valeur de =, varie avec z par degrés insensibles et ne devient jamais infinie, se réduit néces-

des valeurs de la variable, relatives à ces deux circonstances d’une fonction nulle ou infinie, sont toujours égales entre elles aux multiples près des périodes; l'expression des fonctions à ‘x infinis par des sommes ou par des produits de fonctions à deux infinis; la théorie détaillée des fonctions à deux infinis et leur réduction aux fonctions elliptiques, qui sont dès lors l'élément unique des fonctions doublement périodiques à un nombre d'infinis limité; les théorèmes sur l'addition et sur la transformation directe ou inverse, rendus pour ainsi dire aussi simples que le problème d’Algèbre de former une fraction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur s’évanouissent pour des valeurs données : tout cela, c’est-à-dire la partie essentielle de mon travail, est dans le manuscrit de M. Borchardt, que je communiquerai dans quelques instants à l’Académie. »

M. Liouville a, en effet, avant la fin de la séance, déposé sur le bureau le manuscrit de M. Borchardt. Nous transerivons la Table des matières que M. Borchardt a placée en tête.