Première Partie. — Théorie generale

1. Une fonction doublement périodique qui ne devient jamais infinie est impossible.

2. Une fonction doublement périodique et à un seul infini est impossible.

3. Fonctions doublement périodiques et à deux infinis. Leurs propriétés fondamentales.

4. Fonctions doublement périodiques et à plusieurs infinis. Leur développement en sommes et en produits de fonetions doublement périodiques et à deux infinis.

5. Leur développement en produits de fonctions périodiques et à trois infinis, lorsque le nombre des infinis est pair.

6. Leur développement en fractions de la forme > ®(z) représentant une

M + N (3) fonction doublement périodique et à deux infinis, &’(z) son coefficient différentiel, et L,

M, N des fonctions entières de o(z). 0

Seconde Partie. — Applications.

7. Détermination du coefficient différentiel des fonctions doublement périodiques et à deux infinis. Théorème de laddition pour les mêmes fonctions. Cas particulier du sin am z.

8. Transformation du sin amz. Expressions en forme d’une somme et d’un produit.

9. Transformation inverse du sin amz. Formule d’Abel. Formule de M. Jacobi.

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. VITE, p. 378.

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sairement à une constante. Enfin, les formules dont il s’agit fournissent directement les diverses conséquences que notre Confrère annonce avoir déduites du principe ici mentionné.

Ainsi, en particulier, des formules que j'ai établies dans le Mémoire lithographié du 27 novembre 18371, comme propres à déterminer, non seulement la somme des fonctions semblables de celles des racines d'une équation transcendante, qui peuvent représenter les coordonnées imaginaires de points renfermés dans un contour donné, mais encore le nombre de ces racines, on en conclut immédiatement que, si, la fonction F(:) étant doublement périodique, on attribue successivement à z les diverses valeurs qui expriment les coordonnées imaginaires de points renfermés dans le parallélogramme élémentaire dont les côtés sont représentés en grandeur et en direction par les deux périodes, celles de ces valeurs qui rendront la fonction F(z) nulle seront en même nombre que celles qui la rendront infinie.

Quant à la méthode d’exhaustion qu'a employée M. Liouville, et qui consiste à retrancher successivement d’une fonction donnée f(3) d’autres fonctions qui deviennent infinies en même temps qu'elle, pour certains systèmes de valeurs attribuées à la variable =, de manière à obtenir, pour reste définitif, une fonction 5(:) qui offre une valeur toujours finie ou même constante pour des valeurs finies de x, c'est précisément la méthode dont j’ai fait usage pour établir, dans le premier Volume des Exercices de Mathématiques, les principes fondamentaux du Calcul des résidus. La méthode d’exhaustion est encore celle à laquelle j’ai eu recours, dans les Annales de M. Gergonne, pour la détermination d’un très grand nombre d’intégrales définies, spécialement des intégrales dont les limites sont — x et +.,

Je joindrai ici la démonstration très simple du théorème relatif aux valeurs d'une variable qui rendent nulle ou infinie une fonction à double période.

Soit F(z) une fonction, doublement périodique, qui reste continue avec sa dérivée, tant qu’elle ne devient pas infinie. Soient encore a, b les deux périodes de la variable 3; nommons $ l'aire du parallélo-

gramme élémentaire ABCD, dont les côtés sont représentés en grandeur et en direction par les périodes a, b; enfin, soit (S) la valeur de

étendue à tous les points du contour ABCD. Il est clair que (S) sera

l'intégrale

la somme de quatre intégrales rectilignes, qui, prises deux à deux, seront égales, au signe près, mais affectées de signes contraires. On aura donc (S) = 0. Mais, d'autre part, si, parmi les valeurs de z qui représentent les coordonnées imaginaires de points situés dans l’intérieur du parallélogramme élémentaire, celles qui rendent la fonction F(z) nulle sont en nombre égal à », et celles qui la rendent infinie, en nombre égal à »'; on aura

(Se if (re) —92ri(n—n').

Donc l'équation (S) donnera

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions monotypiques et monogénes.