C. R., T. XXXIL, p. 484 (3 avril
Nommons z une variable imaginaire qui sera censée représenter l'ordorrnéé imaginaire d’un point mobile Z. Une fonction w de cette variable pourra offrir, pour chaque valeur de z, une ou plusieurs valeurs distinctes. J'appellerai £ype une expression analytique /(z) propre à représenter, pour chaque position du point mobile Z, une
(1) M. Hermite, auquel je faisais part de cette démonstration, tirée du Calcul des résidus, m'a dit l'avoir déjà remarquée, et donnée au Collège de France dans une Leçon.
+. rie
seule des valeurs de «, et choisie de manière qu'étant données deux valeurs différentes /(z,), /(s,) du même type on puisse passer par degrés insensibles de l’une à l’autre en faisant varier = par degrés insensibles. Une fonction m#onotypique, où à un seul type, restera évidemment continue, tant qu’elle ne deviendra pas infinie. Si d’ailleurs une fonction monotype offre, pour chaque position du point Z, une dérivée unique (page 301), elle sera ce que je nommerai une fonction monogéne. Ces définitions étant admises, on déduira sans peine du calcul des résidus diverses propriétés remarquables des fonctions monotypiques et monogènes; je me bornerai ici à en indiquer quelques-unes.
Soient, comme ci-dessus,
= l’ordonnée imaginaire d'un point mobile Z, et
J(=) une fonction monotypique et monogène de z. Soient de plus
S, l'aire comprise dans un contour fermé pqr;
S, l'aire comprise dans un contour plus étendu PQR qui enveloppe le
premier de toutes parts:
S—S,—S, l'aire comprise entre les deux contours :
Z,, L,, ... les points situés entre les deux contours, et correspondants à des ordonnées imaginaires qui vérifient l'équation
(1) = em J(s)
5» 5,» -.. ces mêmes ordonnées. Enfin, représentons par (S,), (S,)
les valeurs de l'intégrale 4 MOLE
étendue à tous les points des contours pqr, PQR, et par
Ls,], Cz, ],
les valeurs de la même intégrale étendue à des contours infiniment petits et fermés, dont chacun enveloppe et renferme dans son inté- OEuvres de C. — S.1, 1. XI. 48
rieur un seul des points Z,, Z,, En posant, pour abréger, (S)=(S,) —(S,), on aura (t. XXII, p. 253) (')
Supposons, pour fixer les idées, que les contours pqr, PQR se réduisent à des cercles dont les rayons soient r,, À, et les contours qui enveloppent les points Z,, Z,, ... à des cercles décrits du rayon p. Alors, en posant, pour abréger,
UN ePE p — Reri, Eee:
on tirera de la formule (2)
ue © Ker
ALe (0) = Mu fu) + Ÿ OREE (3, + 6)],
ù a LA i à 4 * “ :
le signe 2, indiquant une somme de termes pareils à celui qui est mis
en évidence et correspondants aux diverses racines z,, z,
»... de l’équation (1).
Si, dans la formule (3), on remplace /(u) par te elle donnera (4) f(:)= ss - +R ne Le +Ÿ or ae —
En vertu de la formule (4), {a fonction f(z), supposée monotypique et monogène, pour des modules de = compris entre les limites r,, R, sera la somme de plusieurs termes, dont les deux premiers seront développables en deux séries convergentes ordonnées, l’une suivant les puissances entières et positives, l’autre suivant les puissances entières et négatives de z. De plus, si z ne coincide avec aucune des racines z,, :,, ... de l'équa- Lion ( 1), cl suffira de supposer le module & de C unférieur aux modules des différences 3 — z,, 3 —z,, ... pour réduire le troisième, le quatrième, ..… des termes quë composent la fonction f(z) à des expressions immédiatement développables en séries convergentes ordonnées suivant
les puissances entières et négatives de ces mêmes différences.
(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. X, p. 72.
Supposons maintenant que les modules r,, p de u et de © deviennent infiniment petits, et le module K de 6 infiniment grand : la quantité /(C) deviendra infiniment grande, tandis que chacune des quantités /(u), /(e) pourra ou demeurer finie, ou devenir infiniment grande ou infiniment petite. D'ailleurs, comme je l'ai remarqué dans mon Calcul différentiel, l’ordre d’une quantité infiniment petite peut être un nombre quelconque rationnel ou irrationnel, et il est clair que la même remarque peut être appliquée à l’ordre d’une quantité
. . . . be I infiniment grande. D'autre part, si, en considérant r,, 9 et 7 comme
des quantités infiniment petites du premier ordre, on développe les rapports |
’f() uftu) Ef@
ra
en progressions géométriques, chacun d’eux pourra être décomposé en deux parties, dont la première sera une fonction entière ou du moins rationnelle de z, équivalente à la somme des x ou 7 — 1 premiers termes de la progression, tandis que la seconde partie, représentée par l’un des rapports
zn ut çn
pn—1(p — 3) zn-1(z —u) (sa) ses tt)
Pan Qt LA
sera une quantité infiniment petite de l’ordre x. Enfin, si l’on nomme P l’un des produits qu’on obtient en multipliant respectivement ces trois rapports par les facteurs
(6) J(9), fu), f(E), on aura toujours
Ya M(P)— 0,
quand la fonction P restera finie pour des valeurs infiniment petites
I PEL" . sv . / de ;; ou de r,, ou de p. Cela posé, il suit de l'équation (4) que 4
Jonction f(z), supposée monotypique et monogène, sera certainement
rationnelle, si, en attribuant à la variable z, ou à un accroissement Az
de cette variable, des valeurs infiniment petites ou infiniment grandes du premier ordre, on voit toujours les ordres des valeurs infiniment grandes que f(z) peut acquérir, se réduire à des nombres finis. Alors en effet on pourra, dans chacune des expressions (5), attribuer au nombre entier 2 une valeur assez considérable, pour que chacun des trois produits, représentés par P dans la formule (3), acquière une valeur finie, ou même infiniment petite.
La fonction /(z) pourrait cesser d’être rationnelle, sans cesser d'être monotypique etmonogène. C’est ce qui arriverait, par exemple,
si l’on supposait
re
ft) = ou ff) = e.
Dans des cas semblables, on pourra encore, à l’aide du premier des théorèmes ci-dessus énoncés, remplacer /(z) par la somme d’une ou de plusieurs séries convergentes. Mais les modules des valeurs infiniment grandes de la fonction seront des quantités infiniment grandes
d’un ordre infini. Ainsi, en particulier, si l’on considère z comme un
infiniment petit du premier ordre, le module de e° sera une quantité
infiniment grande d’un ordre infini.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Rapport sur un Mémoire présenté à l’Académie par M. Puiseux, et intitulée : Nouvelles recherches sur les fonctions
algébriques.
