C.R., T. XXXII, p. 493 (7 avril

Dans un précédent Mémoire, sur lequel s’est portée à juste titre l'attention des géomètres, M. Puiseux avait résolu d'importantes questions d'Analyse, relatives à la détermination des fonctions algébriques et des intégrales définies qui renferment ces fonctions sous le signe Le Ainsi par exemple, 1l était parvenu à reconnaitre de

quelle manière les diverses valeurs d’une fonction algébrique se trouvent échangées entre elles dans le voisinage d’une valeur de la variable pour laquelle cette fonction devient discontinue. Ainsi encore, en supposant que « représente une fonction algébrique de z, il avait montré comment les diverses valeurs de l'intégrale curviligne

4 fu dz

peuvent se déduire de l’une d’entre elles, ou de celles qu'on en tire quand, à une valeur donnée de la fonction w, on substitue l’une quelconque des autres valeurs que cette fonction peut acquérir. Ainsi, enfin, il avait déterminé, pour une classe très éténdue de fonctions algébriques, le nombre des périodes distinctes qui peuvent être ajoutées à l'intégrale curviligne £, sans que la variable z, considérée comme fonction de #, change de valeur.

Dans le nouveau Mémoire dont nous avons à rendre compte, M. Puiseux généralise encore les résultats qu’il avait précédemment obtenus, et, en considérant une fonction algébrique « de forme quelconque, il parvient à reconnaitre si chaque période de lintégrale curviligne

t= f'uds

appartient à toutes les valeurs de l'intégrale, ou seulement à une partie d’entre elles. L'analyse à l’aide de laquelle il résout cette question est fondée sur un théorème très remarquable, dont M. Puiseux donne une démonstration rigoureuse et dont voici l'énoncé :

Une fonction algébrique de 3, qui reste toujours continue, tant qu'elle

ne devient pas infinie, est nécessairement une fonction rationnelle.

Ce théorème, duquel se déduisent des conséquences nombreuses et importantes, comme on peut le voir, non seulement dans le Mémoire soumis à notre examen, mais encore dans les belles recherches que M. Hermite a présentées, à la dernière séance, sur les équations résolubles par radicaux, permet à M. Puiseux de prouver que chacune des constantes, auxquelles on peut donner le nom de périodes, appartient

effectivement à toutes Les valeurs de l’intégrale curviligne 4 = ffb dz, lorsque l’équation qui détermine la fonction algébrique « est trréductible. De plus, en s'appuyant sur le théorème dont il s’agit et sur les principes exposés dans son précédent Mémoire, M. Puiseux établit diverses propositions dignes de remarque, à l’aide desquelles on peut reconnaître si une équation entre deux variables est irréductible, ou déterminer le degré des équations irréductibles dans lesquelles elle se partage, et même trouver chacune de ces dernières équations.

En résumé, les Commissaires sont d'avis que les nouvelles recherches de M. Puiseux sur les fonctions algébriques constituent, ainsi que les précédentes, un véritable progrès dans l'Analyse mathématique. Ils pensent, en conséquence, que le Mémoire soumis à leur examen est très digne d’être approuvé par l’Académie, et inséré dans le Recuerl

des Mémoires des savants étrangers.

MATHÉMATIQUES. — Rapport sur un travail présenté à l’Académie

par M. Koraek, et relatif aux logarithmes des nombres.