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EXTRAIT N° 502. k01
pliés par le module r de z, offrent des produits inférieurs à l'unité. Alors, en effet, le développement de f(z) résultera immédiatement de la multiplication des développements des divers facteurs en séries ordonnées suivant les puissances descendantes ou ascendantes de z.
Il est aisé de voir comment les propositions que je viens de rappeler s’appliquent à la détermination approximative des restes qui complètent les séries limitées, spécialement des restes désignés par Em et par ç& dans les deux précédents articles, et de limites supérieures aux modules de ces mêmes restes. Ainsi, par exemple, on déduira sans peine de ces propositions, jointes aux formules que contient le premier article, les théorèmes suivants :
THéorème LIT. — Soit Z={(1— 3,3") "F(z:),
s étant une quantité positive, le module à de 3, étant inférieur à l'unité, et la fonction F(z) étant développable, pour un module r de 3 compris entre les limites x et a, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de 3. Soit encore A n= M (32)
le coefficient de 37" dans le développement de Z en série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de :. Si le coefficient de =" dans le développement de F(z) est le produit de :” par une quantité post-
live, on aura
(1) À n = 80 + 2: + m1 + On Um
la valeur de 2,, étant
re m ESlalt— ST Qn+m pem)(z sé ne mo 0)
et 0,, désignant un nombre compris entre les limites o, 1. En d’autres
Lermes, on aura (3) À, 8+ 8 +... + m1 + Ps la valeur de p,, étant donnée par la formule
(4) : Pm — : PS Ps OEuvres deC.— S.1,t. XI. br
THÉORÈME IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si le coefficient de =" dans le développement de F(z)'est le produit de :}° par une quantité géométrique, et si l’on nomme ®(z) ce que devient F(z) lorsqu'à cette quantité géométrique on substitue son module, alors l'équation (3) continuera de subsister, pourvu qu'à la formule (4) on substitue la suivante :
MA) TT 7 (n+m)"
Parmi les applications que l’on Pa faire de la formule (1), on doit remarquer celle qui se rapporte au cas où l’on aurait
F(3)=(1— 233)", 3" étant conjugué à z,. Alors, en posant
SAC. Ja"
et
on trouverait
ques mise ls} [1—Ss]» man.
8n—= (—1) [Rats (1 — a? (
Si, dans cette même hypothèse, on posait
REP on aurait Z'=[1—2acos(p— a) +a°]s.
La
Donc, si l’on nomme À, le coefficient de e-*?’ dans le développement de l’expression
[1—2acos(p—a)+a]-", on aura
FAST OT Re S(S+1) (1—s)(2—5s) A Ga | 2.
In+I 1.2 (n+I1)(n +2) mo SASH1)...(S+m—i):(1—5s)...(Mm—Ss),, a m 1.2... (2+1)...(r+m) |
la lettre À désignant le rapport - Fe et 0,, étant un nombre compris +4
entre les limites o, 1. Ilimporte d'observer que la formule ici obtenue ne subsiste pas seulement dans le cas où, le rapport À étant inférieur à l'unité, la série comprise entre parenthèses dans le second membre est convergente. Cette formule subsiste aussi dans le cas où, le rapport 0 étant supérieur à l'unité, la série devient divergente, et elle permet encore, dans ce dernier cas, d'obtenir avec facilité, quand ñ est un très grand nombre, une valeur très approchée du coefficlient À,.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le changement de variable indépendante
dans les moyennes isotropiques.
