MO

I y a plus : on pourra, dans le second membre de l’équation (4), substituer à la. fonction @ une moyenne entre diverses valeurs de cette fonction correspondantes à diverses valeurs de +, y, Ÿ, par exemple la

valeur moyenne

de @ considéré comme fonction de 7. On aura donc encore 4=T nt (5) M6—N M 6.

ee pr

Supposons maintenant que © soit le produit.de deux facteurs dont le premier F(x, y,3,æ,, y,,5,...)soit une fonction quelconque des coordonnées des divers points À, À,, À,, ... et le second f(ux-5 ev +2)

une fonction quelconque du trinôme UX “+ VY + w2,

dans lequel les trois coordonnées x, y, z d’un nouveau point B sont multipliées par trois coefficients quelconques 4, 6, , en sorte qu’on ait

(6) O—=F(z, y,23,4,, y,,3, ...)f(ux + vy + wz).

Si l’on pose

(7) k— u? + p? + ww,

ER TE à . à , .

2 7° 7% seront les cosinus des angles formés avec les demi-axes des

coordonnées positives par une certaine droite OK; et, si en déplaçant les axes coordonnés on fait tourner l’axe des æ autour de l’origine de manière qu'il vienne s'appliquer sur la droite OK, on aura

(8) Œ == —) Rs rte et (9) O — Fax + 67y +7, ar +6'y+7y's, «x +6'y+y"z, ...)f(kx).

Par suite, si l'on pose

SR (10) © — "7" F(az+6y+ys, a'x+6'y+7ys, «x +6"y+y"z, ...), Fes on aura (11) (M 8—Qf(4x), P A=-T

et la formule (5) donnera (12) MO —MAN(ÆX).

Il s’agit maintenant de trouver la valeur de Q. Pour y parvenir, nous rappellerons d’abord que, /(æ, y, ...) étant

une fonction entière de plusieurs variables æ, y, z, ..., on a (Volume IT des Exercices de Mathématiques, page 167) (")

(13) f(a, b,c;...)errtortesr..— FD, : à D,, ...)eaz+by+es+….,

Si, dans cette dernière formule, on échange entre elles les lettres +, y, 3, ..., 4, b, c, ..., on obtiendra la suivante

(14) \ 27,3%. :) prit FO, D;, D,, LE ) eaz+by+es+.….

qui fournit des résultats donnés dans mes Exercices d'Analyse; puis, en réduisant après les différentiations a, b, ce, ... à zéro, on obtiendra

la formule générale (15) f(x, TE,» à RE D;, |; RE JÀ 2) earrby+ese,

qui fournit des résultats donnés par M. Laurent. Or, si dans l’équa-

tion (15) on remplace x par cosy et y par sin, on aura

(16) f(cosy, siny) = f(D,, D, ) etcosx+bsiny puis, en posant, pour abréger, À Benes SARA nm

et ayant égard à la formule

5 Le , X=T 2 2 2 J 3 M escos{+bsiny — M evV?h cosy — fat le us (=) (2) as (—) (2) ES 2 1,4 2 te 2

A=—-N X=,-7 on trouvera

h he (13) AT (cosy, sing) = f(De, D) (i+ ++)

D'ailleurs, il est clair que parmi les quantités Dh Dh <D24 DA Dih Dh,

les seules qui ne s’'évanouiront pas avec a et b seront

Dont DIRE

(1) OEuvres de Cauchy, S. U, T. VI, p. 208.

Donc, si l’on nomme

6 PJ diverses fonctions linéaires et homogènes de D,, D,, ..., tout produit symbolique de la forme (18) VV, :;.0

s'évanouira, pour des valeurs nulles de a, b, à moins que le nombre des facteurs symboliques V, V,, V,, ... ne soit double de x. Ajoutons que, dans ce dernier cas, l'expression (18) se réduira toujours à une fonction entière de quantités de la forme VV,2, et qu’on aura, par exemple,

(19) VV,V,V,ht—a(VV, AN, V,h+ NV AN V hR+NV, hV,V,h).

Cela posé, désignons par

V, VW, vr, ce que deviennent, eu égard aux formules (1), les trois binômes tin rie CJtrS

quand on y remplace cosy par D, et siny par D,. Soient encore

ce que deviennent V, V', V’ quand on y remplace æ, y, 3 par æ,, y,, =, ou par æ,, y,, %,, -... La formule (ro) donnera

(20) Q= F(ax + V, ax + V', a"z + V', ax, + V, (+ Dre his je

Or, en vertu de cette dernière formule, et des remarques ci-dessus énoncées, Q se réduit à une fonction des quantités

WONLNT 2 de, et des produits symboliques de la forme