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u p L4 THÉORÈME IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème

orécédent, si l’on transforme une fonction synectique Q des variables 3,

u, , w, ... en une fonction de la seule variable 3, par la substitution des valeurs trouvées de u, v, w, ...; Q, considérée comme fonction de z, restera monodrome, monogène et finie jusqu'au moment où le module 5 de la différence z — z, atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier l’une des équations

PErD, 5

ee 0.

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‘Ajoutons que, jusqu’à ce moment, la fonction Q sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de z — 3,, et que la série deviendra divergente, si le module o dépasse la limite indiquée.

Nous appellerons équations synectiques des équations finies ou des équations différentielles dont les premiers membres ne renfermeront que des fonctions synectiques des variables et de leurs dérivées. Cela posé, les théorèmes que nous venons d’énoncer se trouveront tous compris dans le suivant :

TaéorèMe V. — Si Q designe une fonction de z déterminée par un systême d'équations synectiques, et acquiert la valeur finie Q, pour une cerlaine valeur particulière et finie z, de la variable z, cette fonction restera monodrome, monogène et finie jusqu'au moment où le module de la dif- Jérence 3 — z, atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se

vérifier l’une des équations de condition

et, Jusqu'à ce moment, Q pourra être représentee par la somme d'une serie convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la difference z — z,. La même série deviendra généralement divergente, quand

le module de cette différence dépassera la limite indiquée. .

Lorsque la fonction Q est simplement une fonction synectique de x, alors, en vertu du théorème V, elle est toujours développable suivant les puissances ascendantes de z, et, par conséquent, on peut toujours

LE

EXTRAIT No 504. h15

considérer une fonction synectique comme une fonction entière de , composée d'un nombre fini ou infini de termes. Telles sont, par exemple, les fonctions e, cosaz, etc.

On peut appliquer les théorèmes que nous venons d’énoncer même à la détermination ou au développement d’une inconnue Q déterminée, en fonction de 3, par un système d'équations simultanées qui ne seraient pas synectiques. Pour y parvenir, il suflira de transformer les équations données en équations synectiques. Or il est ordinairement facile d'atteindre ce but, à l’aide des procédés que fournit l'Analyse algébrique, et en augmentant, s’il est nécessaire, le nombre des inconnues.

Ainsi, par exemple, les équations non synectiques

MSIE, MC: u — arc sins pourront être remplacées par les équations synectiques eu — #, ae À sin = 5, et l'équation non synectique,.

. p—Az+RBz+...+ Hz,

où a, b,..., À sont des exposants quelconques, pourra être remplacée par le système des deux équations synectiques

v—Aetut+Betut,,, + Het, = 3.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — ARapport sur de nouvelles recherches relatives à la série de Lagrange, et présentées à l’Académie, par M. Féux Co,

de Turin.