C. R., T. XXXIV, p. 304 (1°° mars

M. Félix Chio, de Turin, a présenté successivement à l’Académie deux Mémoires sur la série de Lagrange. Le premier a été honoré de

l'approbation de l'Académie, qui en a voté l’impression dans le Recueul des Savanis étrangers. Dans ce premier Mémoire, l’auteur, après avoir rappelé le théorème général, établi par l’un de nous, sur la convergence du développement d’une fonction en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable, avait appliqué ce théorème () à la série à l’aide de laquelle Lagrange exprime l’une des racines: d'une équation algébrique ou transcendante, puis il avait déduit de son analyse le caractère propre de cette racine, dans le cas où elle est réelle. Il avart ainsi reconnu l’inexactitude d’une proposition énoncée dans la Note XI de la Résolution des équations numériques (édition de 1802, page 227), savoir que la racine dont il s’agit est la plus petite, abstraction faite du signe, et il avait substitué à cette assertion de Lagrange une proposition nouvelle qui mérite d’être remarquée.

Dans le Mémoire dont nous avons aujourd’hui à rendre compte, M. Félix Chio considère un cas spécial traité par Lagrange, dans les Mémoires de Berlin de 1768, savoir le cas où, l'équation à résoudre

étant présentée sous la forme (1) u—zx+f(x)—o,

et le paramètre w étant réel, la fonction f(x) est elle-même réelle et

de la forme f(x) = Axa+ Brt+...+ Hzx!. .

Dans ce cas, le terme général de la série, c’est-à-dire l'expression

(1) En appliquant ce même théorème, dans mes Exercices d'Analyse, à la série de Lagrange, et en supposant cette série ordonnée suivant les puissances ascendantes d’un paramètre variable, j'ai dit qu’elle demeure convergente quand le module du paramètre est inférieur au plus petit de ceux qui introduisent des racines égales dans l'équation donnée. Cette proposition est exacte. Mais il convient d'ajouter, avec M. Chio, que la série de Lagrange demeure convergente, quand le module du paramètre est inférieur au plus petit de ceux qui rendent égales deux racines dont l’une est précisément la somme de la série. Telle est, en effet, la conséquence qui se déduit naturellement du simple

énoncé du théorème général.

se transforme en un polynôme dont les divers termes ajoutés les uns aux autres reproduisent cette expression même. Or, si l’on substitue à celle-ci ou les divers termes dont elle est la somme, ou seulement celui de ces termes qui offre le plus grand module, on obtiendra, dans la première hypothèse, une série multiple, dans la seconde hypothèse, une série simple, mais distincte de la série de Lagrange. La nouvelle série simple dont nous venons de parler est précisément celle que Lagrange a substituée à sa propre série, dans les Mémoires de 1768. Lagrange a supposé que ces deux séries simples doivent être toutes deux à la fois ou convergentes ou divergentes. Mais, comme l’observe très bien M. Chio, cette supposition ne saurait être généralement admise, et, pour que les résultats qu’on en tire ne soient pas erronés, il est nécessaire que le polynôme f(x) satisfasse à certaines conditions. En recherchant ces conditions, M. Chio a été conduit à de nouveaux théorèmes qui concernent les séries simples ou multiples et qui nous paraissent dignes d’être signalés. Nous allons les indiquer en peu de mots.

Concevons que le terme général w, d’une série simple

Ugs Ujs Us,

soit décomposé en plusieurs parties qui offrent toutes le même argument. Soient N=—q{n) le nombre de ces parties, et 7, celle qui offre le plus grand module. Le module de w, sera compris entre les modules de 7, et du produit NT,. Or, de cette seule remarque, il résulte immédiatement que, si N'est le terme général d’une série dont le môdule soit l'unité, les séries simples dont les termes généraux sont , et 7, seront toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes en même temps que la série multiple produite par la décomposition du terme général 4, en plusieurs parties. A l'aide de ce théorème, M. Chio prouve aisément que la règle de convergence donnée par Lagrange dans les Mémoires de 1768 fournit des résultats exacts, lorsque, dans le OEuvres de C. — S. 1, t XE 53

polynôme f(x)= Axt+ Bat+...+ Hzxt,

les coefficients

sont des quantités de même signe, et que les exposants Gi CAR

sont, ou tous négatifs, ou tous positifs, mais supérieurs à l'unité, leurs valeurs numériques étant rationnelles ou irrationnelles; ou tous entiers et positifs, l’un d’eux pouvant être nul. Sous ces conditions, et en supposant que les deux exposants a, k soient le plus petit et le plus grand, abstraction faite des signes, M. Chio démontre que la valeur numérique du rapport

f(u+ x) La

offre un minimum correspondant à une valeur de æ comprise entre

les limites

dans le cas où a s’évanouit; puis, en nommant À le minimum dont il s’agit, M. Chio fait voir que la règle donnée par Lagrange peut être réduite au théorème dont voici l’énoncé :

La série de Lagrange sera convergente ou divergente, suiwant que l'on

aura R =: ou HD

Ajoutons que la valeur de x correspondante au minimum 2 est fournie par l'équation

(25 f(u+æ)=xf(u+x),

qui, comme le remarque M. Chio, et comme on peut aisément le démontrer ('), offre une seule racine réelle comprise entre les limites ci-dessus indiquées.

M. Chio a pensé qu'il ne serait pas sans intérêt de comparer les résultats que nous venons de mentionner avec ceux que l’un de nous a consignés dans le Mémoire Sur divers points d'Analyse (?), présenté à l’Académie en 1827. Suivant les principes qui s’y trouvent exposés, et que l’Auteur a reproduits ou même développés dans un autre Mémoire lu à l’Académie de Turin, le 11 octobre 1831 (*), pour savoir si la série de Lagrange est convergente ou divergente, il suffit de calculer un certain module À du rapport

VA

savoir, Celui qui a reçu le nom de module principal, et qui correspond à une certaine racine de l'équation (2); puis, de voir si ce module principal est inférieur ou supérieur à l’unité. D'ailleurs, lorsque, la variable + étant imaginaire et de la forme

nÈT RePi.

la fonction f(x) se réduit au polynôme

Axt+Bat+...+ Hart!

et remplit les conditions précédemment indiquées, le module principal du rapport f(u+ x) ee

offre les caractères énoncés dans le Mémoire de 1831 (tome I des

Exercices, page 45), en sorte qu'il est tout à la fois un module maximum relativement à l ‘angle p, et un module minimum relativement à X ;

(1) Foir la seconde des Notes jointes à ce Rapport.

(2) Tome VIII des Mémoires de l’Académie des Sciences. (OEuvres de Cauch y, S: L T. IL.)

(3) Tome II des Æxercices d'Analyse et de Physique mathématique (OEuvres de Cauchy, S. I, T. XI).

et, de ce double caractère, il résulte nécessairement que la règle générale donnée dans le Mémoire sur divers points d'Analyse s'accorde avec celle à laquelle M. Chio réduit la règle particulière donnée par Lagrange, pour le cas spécial traité par le grand géomètre dans les Mémoires de 1768.

M. Chio ne s’est point borné à établir les théorèmes que nous avons rappelés et les conditions sous lesquelles la règle de Lagrange pouvait être admise : il a encore mis en évidence leur utilité, en appliquant sa méthode à divers exemples. Il a considéré en particulier le cas où, la fonction f(æ) étant proportionnelle à sinæ, on développe le rayon vecteur mené du Soleil à une planète qui se mouvrait seule autour de cet astre, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de l’excentricité de l’orbite, et il a fait voir comment, dans ce cas, on peut déduire de ses théorèmes une démonstration rigoureuse de la règle de convergence que Laplace a obtenue en supposant l’anomalie moyenne réduite à un angle droit. Mais, après avoir ainsi retrouvé le résultat de Laplace, il a remarqué, avec raison, que la règle donnée par Lagrange ne résout pas la question de savoir si la série qui représente, pour une valeur quelconque de l’anomalie moyenne, le développement du rayon vecteur, est convergente ou divergente. Ici, en effet, les conditions sous lesquelles la règle de Lagrange peut être admise ne sont pas remplies, attendu que dans la série |

2” 2 Rae se RC NE Sr

qui représente le développement de sinæ, les coefficients des diverses puissances de æ sont alternativement positifs et négatifs.

Aux divers résultats que nous venons de signaler, et qui forment l’objet principal du Mémoire dont nous avons à rendre compte, M. Chio a joint quelques observations nouvelles qui confirment les conclusions auxquelles il était parvenu dans son premier Mémoire. Il remarque aussi que les raisons qui ne permettent pas d'admettre le théorème énoncé par Lagrange dans la Note XI de la Résolution des

EXTRAIT N° 506. k21

équations numériques suffisent pour établir l’inexactitude d’un théorème analogue (on pourrait même dire équivalent) qu'Euler a donné, dès l’année 1770, dans un Mémoire dont le titre est Observationes circa radices æquationum, et qui concerne une équation dont les racines sont réciproques des racines de l'équation traitée par Lagrange.

En résumé, les Commissaires sont d’avis que le Mémoire soumis à leur examen fournit de nouvelles preuves de la sagacité avec laquelle M. Félix Chio sait traiter des questions importantes et délicates. Ils pensent que ce Mémoire mérite, comme le précédent, d’être approuvé par l’Académie, et inséré dans le Recueil des Savanits étrangers.

Notes jointes au Rapport et rédigées par le rapporteur.