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savoir, plusieurs si, s venant à décroître à partir de la limite supérieure k, le polynôme s peut passer, non seulement du négatif au positif, mais encore du positif au négatif, et une seule dans le cas contraire. Or ce dernier cas est seul admissible. Soit, en.effet,

k AE TrES

= une racine positive de l'équation (:), et multiplions le polynôme s par le facteur S — 1 (kK+ r})s1 Si, dans le polynôme s, on considère un terme quelconque, par

exemple le suivant Cf(c—1i)r—k](k+r)t,

ce terme, multiplié par le facteur susdit, deviendra, eu égard à la

formule (5),

À Fr À

(6) . CH (0— 5) Ve

D'ailleurs le nombre €, supérieur à l’unité, sera ou ne sera pas inférieur à c. Dans la première hypothèse, c — « sera positif, et l’expression (6) croîtra en même temps que chacune des quantités

Ces; as :

tandis que s, supposé très voisin de ç, décroîtra, en s’éfoignant de et se rapprochant de l’unité. Il en sera encore de même si l'onaç—c, Enfin, sil’onaç > c, l'expression (6), devenue négative, croitra pour des valeurs décroissantes de sa valeur numérique. Elle croîitra donc encore, si s, supposé très voisin de ç, vient à décroître, en s’éloignant de set se rapprochant de c, puisque alors les quantités

S c—ç F7 S—C, SPORTS ile S — I S

décroitront l’une et l’autre. Done, si chacun des exposants a, b,...,h est nul ou positif, un ou plusieurs d’entre eux étant supérieurs à

’ 7 (s ER. 1)S l'unité, le rapport ri

santes et voisines de ç. Donc alors, s venant à décroître, ce rapport et

croîtra pour des valeurs de s décrois-

le polynôme s lui-même ne pourront passer du positif au négatif; d'où il suit que l'équation (6), résolue par rapport à r, offrira une seule racine positive comprise entre les limites

k k hi dei

si lonaa>1,etentre les limites

k ‘KT te

sil'onaa<1.

En raisonnant comme on vient de le faire, on prouvera encore que, si les exposants a, b, ..., À sont tous négatifs, l'équation (2), résolue par rapport à r, offrira une seule racine positive comprise entre les

limites k | + 128

et l’on reconnaitra.ainsi, dans tous les cas, l'exactitude de la proposition énoncée par M. Chio et rappelée dans le Rapport.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Zroisième Note annexée au Rapport sur de nouvelles recherches relatives à la série de Lagrange, el présentées

à l’Académie, par M. Féuix Cmo, de Turin ().

Sur les équations trinômes.