C. R., T. XXXIV, p. 345 (8 mars

Supposons l'inconnue z assujettie à vérifier une équation trinôme de la forme |

(1) Azt+ Bzt+ Cz°=—o.

Si, en représentant par g l’un des six termes de la suite a—b; b—c ca. b—a; c—6, ac,

et par G le terme correspondant de la suite

on pose

(1) Voir p. 415 de ce Volume.

OEuvres de C. — S.T, t. XI.

Qt Qt

on déduira immédiatement de l'équation (1) une autre équation de la

forme Z=i+H21.

Ajoutons que, si dans cette dernière on remplace la lettre Z par x, et les lettres H, 2 par d’autres lettres {, a, on obtiendra l’équation trinôme |

dans laquelle {, a pourront être des paramètres quelconques. Ainsi, l’on peut toujours réduire de six manières différentes la résolution de l'équation (1) à la résolution de l'équation (2), comprise elle-même, comme cas particulier, dans la formule plus générale

(3) skis,

dont nous allons un instant nous occuper. :

Considérons, pour fixer les idées, le cas où, l’exposant a étant réel, la constante # est positive, et nommons À le module principal du

rapport Gh+axe

ES

Si l’on développe, en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de z, celle des racines de l'équation (3) qui se réduit à #, pour t — 0, la série obtenue sera convergente quand le module de t sera infe-

rieur à R

La même série deviendra divergente quand le module de t sur-

J . S'A " passera + Ajoutons que, dans cette série, le coefficient @, de 7” sera donné par la formule

(4) 8,— —— DA-1#ra,

Quant au module principal À, il sera déterminé par la formule

(5) R= Ts, si l'on a a >1,

EXTRAIT N° 507. 435 et par la formule

a SP 1—-a (6) Hs D si l’on a a <1.

Remarquons, au reste, que la règle de convergence relative au développement de la racine z de l’équation (2) peut se déduire non seulement du théorème général sur la convergence des séries, mais encore des formules que fournit le Calcul des résidus, et qui servent à transformer les fonctions en intégrales définies. En transformant ainsi @,, on trouvera, si l’on supposea=>1,