C. R., T. XXVII, p. 37 (10 juillet

Les méthodes que j'ai données dans les précédents Mémoires pour la détermination des valeurs moyennes des fonctions peuvent encore

être simplifiées, dans leurs applications, à l’aide de divers théorèmes que Je vais indiquer.

S 1. — Théorèmes relatifs aux fonctions différentielles.

Soient

æ, y, 3, ..… diverses variables; Si Sos --., # diverses fonctions de ces variables; s l’une quelconque de ces fonctions,

(1) here 2€ MERE 7

le produit de ces mêmes fonctions. Soit enfin (2) V=aD,+06D,+cD,+...

une fonction linéaire et homogène des caractéristiques D,, D,, D,, ....

On aura, d’une part, (3) Vs—aD,s + bD,s+cD.s +...

et, d'autre part,

ns En ss’

Ds, "a D>5, EURE ne

Si Q

Or, de ces deux formules, dont la dernière continue de subsister

quand on y remplace la variable x par l’une quelconque des autres variables y, 3, ..., on déduit aisément la proposition suivante :

TuéorèME [. — Sotent

æ, Y, 5, ... diverses variables ; S4s Sas ..s 8m diverses fonctions de ces variables ; S le produit de ces mêmes fonctions ;

V une fonction linéaire et homogène des caractéristiques D, Die.

O7 aura

(5) vf.)

Taéorème Il. — Les mêmes choses élant posées que dans le théorème

précédent, soient

diverses fonctions linéaires et homogènes des caractéristiques W,, D D,, .... Soit encore

h LU

(6) D Er FA CAES

le produit des facteurs symboliques V,, V,, ..., V,. Concevons enfin que

le produit D soit décomposé en produits partiels, en sorte qu'on at (7) LISE OR; Cu:

chacun des facteurs Q,, :, ..., D, étant le produit partiel de plusieurs des facteurs symboliques V,, V,, ..., V,, et pouvant se réduire à l’un de ces derniers facteurs ou méme à l'unité. La fonction différentielle O8 sera

équivalente à la somme des divers produits de la forme (8) ET Ca Sa + + + Un Sy

correspondants aux divers systèmes de valeurs que peuvent acquérir, dans

la formule (7), les facteurs symboliques D,, 0, ..., Exemple. — Soit » — 2, en sorte qu'on ait OZ Vi: Vs;

alors, dans le second membre de la formule (7), on pourra supposer

ou l’un des facteurs O,, Es, ..., D, équivalent à [3, c’est-à-dire au produit V, V,, et tous les autres à l’unité, ou deux facteurs respectivement égaux à V, et à V,, chacun des autres étant réduit à l’unité. Done

alors on aura, si m — 2, ViValsisea) = 51 Vi Va Se + Sa Vi Vas + Vas Vases Vi Sa Vo 812

sim = 3, Vi Valsisess) = 53 53 Vi Va S1 + 58 51 Va Va Sa + 5183 Vi VaSs + 81 (Visa Vo ss + Vi53 Va Sa) + Sa (Vi 53 Vo Si + Vis Vass) + sa Vis Vaso + Vis: V5),

Corollaire. — Si, dans le produit partiel s) 151 [a59. *1 EPA

on échange entre eux les facteurs symboliques [,, TL, ..., [,, on obtiendra des produits partiels de la même forme, qui seront, en général, distincts les uns des autres. On doit seulement excepter le cas où chacun des facteurs symboliques échangés entre eux se réduirait à l'unité. Or, concevons que, dans le second membre de la formule (7), les facteurs symboliques, réduits à l'unité, soient en nombre égal à /. En joignant au produit partiel

[is [259. . [ln Sm

‘ceux qu’on en déduira par des échanges opérés entre les facteurs symboliques O,, CL, ..., D,, on obtiendra un nombre total de produits partiels évidemment égal à r.2.3...m, si / se réduit à zéro. Si / cesse de s'évanouir, alors, en échangeant entre eux les facteurs symboliques qui se réduiront à l’unité, on obtiendra 1.2.3.../ produits partiels qui ne seront pas distincts l’un de l’autre. Donc alors le nombre des produits partiels distincts qui se déduiront l’un de l’autre, par des échanges opérés entre les facteurs symboliques, sera égal au rapport PCR Dr

Re FC — m(m—1)...(l+1).

EXTRAIT N° 412. 6{ D'ailleurs tous ces produits deviendront égaux entre eux, si l’on a

= Se: . .— Syne

Cela posé, le théorème IT entraine évidemment la proposition suivante :

TuéorÈèME LIT. — Sorent

s une fonction quelconque des variables x, y, 3, ...;

Vi, V,, ..., V, des fonctions linéaires et homogènes des caractéristiques ,., FD:

- D =V,V,...V, le produit de ces fonctions linéaires.

Soient enfin

Dis Dys +, D des facteurs symboliques dont le produit soit ©, chacun de ces facteurs pouvant étre ou l'unité, ou l’un des acteurs V,,V,, ..., V,, ou le produit de quelques-uns de ces derniers facteurs ;

l le nombre de ceux des facteurs symboliques Q,, O,, ..., ©, qui se réduisent à l'unité.

La fonction différentielle 535" sera équivalente à la somme des divers pro-

duits de la forme

(9) (l{+1)(l+2)...mO,sO,s...0,s

correspondants aux divers systèmes de valeurs des facteurs symboliques Eles Cl, es Ce

Exemples. — Si l’on pose successivement 0 = V, et [= VV,, ..., V, V,, ... étant des fonctions linéaires des caractéristiques D,, D

D, ..., le théorème IT fournira les équations

Em = ment Ve,

Vi Vs m(m—i)s"-2VsV,s + ms"-1V, Vs,

DR MO SR TR QU EN UE GO d'a EE Ne on Mit ele o d G'e 6: 6: à 2,6

Corollaire. — Supposons que, dans le théorème II, on remplace s par $—<, & étant indépendant de æ, y, #, ...: on conclura de ce

théorème que la fonction symbolique 5(s — <}" est équivalente à la somme des produits de la forme

(10) (l+i)(l+2)...mOi(s—<s) as — 6)... Ou(s —6«).

Si d’ailleurs on pose après les différentiations ç = s, le produit (ro) s'évanouira toutes les fois qu’un ou plusieurs des facteurs symboliques [1,, C:, ..., D, se réduiront à l’unité, par conséquent toutes les fois que / différera de zéro, et se réduira, si { — o, au produit

(11) 1.2:9.,.10 C]rs8 CP EE

On peut donc énoncer la proposition suivante :

THÉORÈME IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II,

st l’on détermine la valeur de la fonction

(s— 5) etre Re LED À ee LT / |]

en effectuant les différentiations sans faire varier &, et en posant après les différentiations $ — s, on trouvera cette valeur égale à la somme des pro-

duits de la forme [is Ües.- [us

On peut encore déduire aisément du théorème IT la proposition suivante :

THÉORÈME V. — Sotent

Sys S2s +, Sn diverses fonctions linéaires des variables x, NET S—5,5,...8,, le produit de ces fonctions ;

O une fonction homogène des caractéristiques VD, DÉS DEES

produits de la forme

$,, s, pouvant étre remplacées par deux quelconques des facteurs s,,

la forme O(s18283) À on S2 S3

Si, S2, S4 pouvant être remplacées par trois quelconques des facteurs s, , s.,

Ss ttis s ec.

Z date WW: ‘/: amies (13) CRISE CRE

se trouvera réduite par le théorème V à celle des rapports de la forme

O(s152) : O'(isasas) O'Csisasssissse)

CA S1S2535% S1Se 535 5586

(13) On aüra d’ailleurs

O*(s152538,) —1.2[O(s152) O(s38,) + O(s183) O(s28,) + O(srs,) O(s:53)],

UN NEC PR NE D ER ER RE OR d'NQUN 6 na d'a orels oué 6 où à & No be € Sté

NS II. — Théorèmes relatifs aux valeurs moyennes des fonctions.

Les théorèmes établis dans le $ T permettent de simplifier les formules obtenues dans le Mémoire sur les valeurs moyennes des fonctions. Ainsi, en particulier, à l’aide de ces théorèmes, on peut réduire la formule (29) de la page 56 à l'équation que nous allons indiquer.

Supposons que, en conservant les notations adoptées dans le précédent Mémoire, on pose, en outre,

et C]

[TX +Y ZZ a'xX + Y'y + 3/z nil IT no. rx At

L'équation (29) de la page 56 pourra être réduite à

1 0) I OX 1 MO—|1+— + —|{<) +... |UR, G) | 1:23 D; —($) sous la condition que les différentiations indiquées par les caractéristiques D,, D,, D, soient appliquées seulement à la fonction de x, y, z désignée par D, comme si 7? = 25 était indépendant de x, y, z. Ajoutons que la formule (1) pourra encore être présentée sous la forme

symbolique O (2) MO = e HR.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur le mouvement d'un système

de molécules.