C. R., T. XXVIE, p. 93 (24 juillet

La plupart des résultats que j'ai obtenus jusqu’à ce jour dans les problèmes de Physique mathématique, et que je suis heureux d’avoir vu accueillir avec tant de bienveillance par les géomètres, étaient déduits ou des propriétés générales des mouvements simples ou de la considération de corps dont les molécules étaient supposées réduites à des points matériels. Il est vrai que les formules fournies par cette hypothèse représentaient une grande partie des phénomènes, et que, dans beaucoup de cas, on pouvait en déduire avec précision, non seulement les résultats d'expériences déjà faites, mais aussi les résultats d'expériences à faire. Il est vrai encore que les prévisions du calcul à cet égard ont été généralement confirmées par l’observation, spécialement par les belles expériences de M. Jamin sur les propriétés de la lumière réfléchie par un métal et sur la polarisation incomplète des rayons lumineux réfléchis par la surface extérieure d’un corps isophane. Toutefois il restait à éclaircir quelques points dans la solu-

tion des questions que l’on pouvait résoudre en réduisant les molécules des corps à de simples points matériels; et, d’autre part, plusieurs phénomènes peuvent dépendre des mouvements relatifs des divers atomes qui constituent les molécules des corps, ou de ce que M. Ampère nommait les vbrations atomiques.

Déjà, dans plusieurs Mémoires présentés à l’Académie par divers auteurs et par moi-même, il a été question des vibrations atomiques. On doit surtout remarquer les observations importantes consignées à ce sujet dans plusieurs Mémoires de M. Laurent, et les formules qu'il a obtenues dans ses recherches sur les mouvements infiniment petits d’un système de sphéroïdes. Mais, à ma connaissance, on n’a pas encore établi les équations générales des mouvements infiniment petits d’un système de molécules dont chacune est considérée comme un système d’atomes. On peut, il est vrai, regarder les douze équations que j'ai présentées à l’Académie dans les séances précédentes, comme offrant une première approximation dans la recherche de ces derniers mouvements. Mais ces douze équations, qui déterminent les mouvements de translation et de rotation des molécules avec leurs dilatations dans les divers sens, supposent que, la position d’un atome étant rapportée au centre de gravité de la molécule dont il fait partie, on développe les déplacements relatifs de cet atome suivant les puissances ascendantes de ses coordonnées relatives, et que l’on réduit ensuite chaque développement à ses deux premiers termes.

Par les motifs que je viens d'exposer, il m'a paru nécessaire d’entreprendre de nouvelles recherches sur les corps considérés comme des systèmes de molécules ou même comme des systèmes de points matériels. Les résultats de mon travail formeront l’objet de plusieurs Mémoires que je me propose de présenter successivement à l’Académie. Les propositions et les formules qui s’y trouveront établies me semblent propres à éclaircir les principales difficultés qui peuvent subsister encore sur les divers points de la Physique mathématique. D'ailleurs je n’hésiterai pas à faire un appel aux physiciens et aux géomètres en les priant de m'aider de leurs lumières, et de voir eux-

OEuvres de C.— S.1, t. XI. 9

2 \& R : R } s V4 int + E (y NIVERSITY j

mêmes si les difficultés leur paraissent effectivement résolues. M. Laurent a déjà bien voulu me promettre d’être sévère pour mes formules, et de me signaler les objections qu'il rencontrerait. J'espère que, dans l'intérêt de la science, mes illustres confrères, et spécialement ceux qui se sont plus particulièrement occupés de la théorie de la lumière, ne refuseront pas de me rendre le même service. J'aurai souvent, comme par le passé, l’occasion d'indiquer à l'avance les résultats d’expériences à faire; et, par conséquent, mes travaux pourront n'être pas sans influence sur les progrès de la Physique expérimentale.

Dès aujourd'hui j'ai l'honneur de présenter à l’Académie deux nouveaux Mémoires dont le premier est relatif aux équations générales des mouvements infiniment petits d’un système de molécules. Le second a pour objet les conditions qui se rapportent aux limites des corps, et, en particulier, les lois de la réflexion et de la réfraction des rayons lumineux.

Le premier de ces deux Mémoires diffère surtout de ceux que j'ai présentés à l’Académie dans des dernières séances, en un point qu’il importe de signaler. Dans ceux-ci douze inconnues propres à exprimer les mouvements de translation et de rotation des molécules et leurs dilatations dans les divers sens étaient déterminées par douze équations aux différences mêlées en fonction de quatre variables indépendantes qui représentaient les coordonnées et le temps. Au contraire, dans mon nouveau Mémoire, les trois inconnues seulement, savoir, les trois déplacements d’un atome mesurés parallèlement aux axes coordonnés, se trouvent déterminées par trois équations aux différences mêlées en fonction de sept variables indépendantes, savoir du temps et de six coordonnées dont trois fixent la position d’une molécule dans l’espace, tandis que les trois autres fixent la positiôn de l'atome par rapport au centre de gravité de la molécule.

Après avoir obtenu, dans le cas général, les équations dont il s’agit, je donne les formules auxquelles elles se réduisent quand Le système de molécules devient isotrope.

Pour ne pas trop allonger cet article, je me bornerai à extraire

ici de mon Mémoire les équations définitives auxquelles je parviens quand les diverses molécules sont semblables entre elles. Je renverrai à une autre séance l'examen des conséquences importantes qu'entrainent ces équations, des intégrales qui les vérifient, et des phénomènes que ces intégrales représentent.

ANALYSE

Considérons un système de molécules, chaque molécule étant ellemême composée d’atomes que l’on suppose sollicités par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Soient d’ailleurs m,m,, In, .. les masses des diverses molécules; m',m'",...les masses des atomes qui composent la molécule 7»;

m, m, .. les masses des atomes correspondants de la molécule 72 ;

CRAN ET Se ed rt er tn eee Tes d'etre ns ss te votes re Cu as ed 6e 6e se 00060 +

Rapportons les positions des centres de gravité des diverses molécules à trois axes rectangulaires des +, y, z que nous ferons passer par une origine fixe, et les positions des divers atomes qui composent une molécule 7» à trois axes des +’, y’, =’ menés parallèlement aux trois premiers par le centre de gravité de 72. Soient, au premier instant,

T, Y, 3 Ct T+X, y +y, 5 + les coordonnées rectangulaires des centres de gravité des molécules 72 et mn ;

æ,Y',3 etæ'+x, y + y,s'+ 7 les coordonnées rectangulaires des atomes 7", m" rapportées au centre de gravité de m;

r' la distance des atomes »#' et m”;

r, la distance des atomes 77’ et m';

m'm"f(r) l'action mutuelle des atomes 7’, m", la fonction f(r') étant positive quand les atomes s’attirent, négative quand ils se repoussent.

Posons d’ailleurs

DE

Supposons enfin que le système moléculaire parte d’un état d’équi-

libre, et que, au premier instant, les diverses molécules soient semblables entre elles et semblablement orientées. On aura non seulement r'2— x”? AT y? + AA

mais encore r'=(x+x}+(y+y}+(z+z}.

Soient, d'autre part, au bout du temps ?,

&, n, C les déplacements absolus de l'atome #7’ mesurés parallèlement aux axes des æ, y, z, dans un mouvement infiniment petit.

Ces déplacements pourront être considérés comme des fonctions du temps £ et des six coordonnées æ, y, 3, æ', y', z' dont les trois dernières varieront entre les limites fort restreintes déterminées par les dimensions des molécules; et, si l’on pose

NO D,, v=D,, ont : JS DS, VD, Wed; V= UE + on + WE, v'=u'E+ en +w'é, v et v’ représenteront au bout du temps £, et autour de l’atome »7', la

condensation de volume : 1° du système moléculaire; 2° de la molécule ». Cela posé, si lon fait, pour abréger,

D—XU+YV+ZW, o'—=xu + y'# + z'w!,

puis

G'=Sm"'(e%— 1) f(r'), H'= 8 m'{ ev— =) FU }, ia le signe S indiquant une somme de termes semblables et qui correspondront aux divers atomes m”,m",..., c’est-à-dire aux divers atomes compris dans la molécule #2 et distincts de #2’, puis enfin

G—SSm'(ev+%—1)f(r,), H—S$m' [esse (o + 2] ALU

le double signe SS indiquant une double somme de termes semblables qui correspondront aux divers atomes

EXTRAIT N° 13. 69 compris dans les molécules #»,, m,, ... distinctes de »; on aura, pour déterminer &, n, € en fonction des sept variables 4, æ, y,:,æx,y,x7, trois équations dont la première sera

{ (D? — G— G')}ë=D,(D,H'E + D, H'n + D,,H'£) a 4 (D, + D) [(D, + D,)HE + (D, + D,)Hn ee (D,, + D; )H£ 1.

Pour obtenir les deux autres équations, il suffira d'échanger entre eux les axes des æ, y, = en même temps que les lettres correspondantes à ces axes; par conséquent, il suffira de remplacer dans le premier membre de la formule (1) £ par n ou par €, et de remplacer en même temps dans le premier terme du second membre le facteur symbolique D, par D, ou D,,, puis, dans le second terme, le facteur symbolique D, + D, par D, + D,; ou D, + D... Lorsque le système de molécules sera homogène dans toute son étendue, les coefficients G, G', H, H' deviendront indépendants des valeurs attribuées aux trois coordonnées æ, y, 3.

Considérons maintenant d'une manière spéciale le cas où le système moléculaire deviendrait isotrope. Alors les coefficients

os 0 H devront être remplacés par les moyennes isotropiques MG, IH, MG, NH, et, si l’on pose, pour abréger,