C.R., T. XXVIL p. 197 (21 août

Premier Mémoire. — /ntégration générale de l'équation homogène du

second ordre Do — F(D., D,, D., ...)®,

à laquelle on satisfait, quand le nombre 2 des variables æ, y, 3, ... est impair, en prenant

£ mor m -2 2 p=1 = A ee mad us itM tD,? |, is Te CR

2, 6,..., h étant liés aux variables auxiliaires &,, &,, ..., 4, par des équations linéaires que donne le calcul, la valeur de p-étant

p=Vai+ai+...+a?,

EXTRAIT N° 419, 79 et : devant être réduit à l'unité, après les différentiations indiquées par la caractéristique D..

Première Note. — Sur la fonction appelée principale dans les recherches

presentées à la dernière séance (").

Deuxième Note. — Détermination de l'intégrale singulière

ETF: [f(x 8,7, ...,+) da d8 dy...dx, [étant la partie réelle de l'expression (e LS NT ml

dans laquelle z désigne une racine carrée de l'unité négative, e un nombre infiniment petit, et w une fonction donnée des m» variables #, 6, y, .... Réduction du calcul à la recherche des systèmes de valeurs de &, 6,...,« qui vérifient les équations simultanées

(6) Em 3 À

Examen spécial de la valeur & que prend l'intégrale, dans le cas où, les intégrations étant effectuées entre des limites voisines de l’un de

ces systèmes, on à

St —8t, 8— al +6 +yv+...,

(1) Cette fonction est distinete de celle qui a été désignée sous le même nom dans d’autres Mémoires. Si l’on adopte l’ancienne définition, la formule et la proposition énoncées dans la dernière séance devront être appliquées, non plus à la fonction principale #, mais à sa dérivée de l'ordre # — 2, prise par rapport à 1; donc alors, en supposant toutes les nappes de la surface caractéristique réelles et convexes, on aura

6=! sn—1 prim(r + hr, Y +, z+vr)

D 5 = ‘M | | Fe a uv LEE XL Y2)}s t5

æ, Y, 3 étant les coordonnées d’un point quelconque de l’espace; + étant, au bout du

temps #, le rayon de la surface des ondes, qui forme avec les demi-axes des coordonnées

positives les angles dont Les cosinus sont À, x, v; les coordonnées x, y, z étant celles du

point correspondant de la surface caractéristique, et les valeurs de p, « étant celles que PA pri -

nous avons indiquées. Alors aussi a sera précisément le rayon de courbure de la sur-

face caractéristique au point (x, y, 2).

s étant une fonction homogène du premier degré en æ, 6, y, ..., et, de plus,

(a, 6, y, A dr

SECOND MÉMOIRE. — /ntégration générale de l'équation homogéne et du degré n, F(D,,D:,D,,D,:;:..7020,

dans laquelle le coefficient de D'5 est supposé réduit à l’unité, quel que soit le nombre 72 des variables æ, y, 3, .... Examen spécial du cas où m2 est impair.

Troisième Notre. — Explication des contradictions qui se manifestent dans plusieurs cas entre les intégrales par séries des équations différenlielles, ou aux dérivées partielles, et leurs integrales en termes finis.

Examen spécial du cas où les intégrales en séries disparaissent, quoique

les intégrales en termes finis subsistent.