C. R., T. XXVI, p. 517 (15 mai

J'ai montré, dans la dernière séance, la liaison qui existe entre certaines propositions de Géométrie analytique et quelques propriétés des polyèdres réguliers. Je vais indiquer aujourd’hui des moyens faciles d'établir ces mêmes propriétés, et plusieurs autres qui parais-

sent assez remarquables pour mériter de fixer un instant l'attention des géomètres.

On sait, depuis longtemps, que l’on peut construire cinq polyèdres réguliers convexes, savoir, le tétraèdre, l’hexaëèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. On sait que, dans ces divers polyèdres, où le nombre des faces est successivement représenté par chacun des termes de la suite

h 10: 6, 1%, 20, le nombre des sommets se trouve successivement représenté par chaeun des termes de la suite

On sait aussi que le nombre des arêtes est six dans le tétraèdre, douze dans l’hexaëdre et l’octaèdre, trente dans le dodécaëdre et l’icosaèdre.

On sait enfin qu’à chaque angle solide aboutissent trois arêtes dans le tétraèdre, l’hexaèdre et le dodécaèdre réguliers, quatre arêtes dans l’octaèdre et cinq arêtes dans l’icosaèdre.

On peut encore établir facilement la proposition suivante :

TnéorÈème [. — Les centres des diverses faces d’un polyèdre régulier quelconque sont les sommets d’un autre polyèdre régulier. D'ailleurs deux polyédres réguliers, dont l’un a pour sommets les centres des faces de l’autre, sont nécessairement ou deux tétraëêdres, ou un hexaëdre et un

octaëdre, ou un dodécaëdre et un icosaëdre.

TuéorÈme Il. — Dans tout polyédre réguler, la droite mence du centre à un sommet est perpendiculaire aux plans de divers polygones réguliers

auxquels appartiennent tous les sommets situés hors de cette droite.

Si le polyèdre donné est un tétraèdre, un seul sommet sera situé sur la droite dont 1l s’agit, les trois autres appartiendront à un triangle équilatéral dont le plan sera perpendiculaire à la droite.

Si le polyèdre donné est un hexaëdre, ou un octaèdre, ou un dodécaèdre, ou un icosaèdre, deux sommets seront les extrémités d’un

même diamètre mené par le centre du polyèdre. Les autres sommets appartiendront à deux triangles équilatéraux, ou à un seul carré, ou à deux triangles équilatéraux et à deux hexagones réguliers, ou enfin à deux pentagones réguliers, dont les plans seront perpendiculaires aux diamètres dont il s’agit.

En partant de ces remarques, on démontrera sans peine une relation curieuse qu'ont entre eux les trois polyèdres dans lesquels trois arêtes aboutissent à chaque sommet, savoir, le tétraèdre, l'hexaëdre et le dodécaèdre réguliers. Cette relation est exprimée par le théorème suivant :

Tuéorème INT, — Les sommets de l’hexaëdre ou du dodécaëdre régulier

sont en même temps les sommets de deux ou de cinq tétraëdres réguliers.

Pour établir ce théorème, il suffit de recourir aux considérations suivantes :

Joignez par un diamètre deux sommets opposés d’un cube ou hexaèdre régulier. Les six sommets situés hors de ce diamètre appartiendront à deux triangles équilatéraux, et le tétraèdre qui, ayant pour base un de ces triangles, aura pour sommet l’une des extrémités du diamètre, savoir l'extrémité la plus éloignée de la base, sera évidemment un tétraèdre régulier; car, chacune de ses arêtes étant la diagonale d’une des faces du cube donné, les quatre arêtes seront toutes égales entre elles.

Concevons maintenant que l’on joigne par un diamètre deux sommets opposés A et A’ d’un dodécaèdre régulier. Les trois pentagones adjacents au sommet A offriront en outre : 1° trois sommets B, C, D situés aux extrémités des trois arêtes qui partiront du sommet A; 2° six autres sommets E, F, G, H, I, K situés deux à deux sur les périmètres des trois pentagones aux extrémités de six diagonales égales entre elles. De ces neuf sommets, les trois premiers appartiendront à un triangle équilatéral, ét les six derniers à un hexagone régulier, les plans de ces deux polygones étant perpendiculaires à la droite AA’. Ce n’est pas tout : les six sommets de l'hexagone EFGHIK, pris de deux

en deux, appartiendront à deux triangles équilatéraux EGI, FHK. J'ajoute que, si l’on donne un de ces deux derniers triangles, EGI par exemple, pour base à un tétraèdre dont le sommet soit A’, ce tétraèdre sera régulier. Effectivement les quatre arêtes du tétraèdre dont il s’agit seront toutes égales à l’une quelconque des diagonales qui, dans le dodécaëdre, joindront deux sommets tellement situés que, pour passer de l’un à l’autre, il suflise de parcourir successivement trois arêtes non comprises dans un même plan. D’ailleurs, il est clair que, après avoir ainsi construit un tétraèdre régulier, auquel appartiendront quatre sommets du dodécaèdre, et spécialement le sommet À’, il suffira de faire tourner le dodécaèdre autour de la perpendiculaire abaissée de son centre sur une face adjacente au sommet A’, pour amener successivement ce sommet dans les positions d'abord occupées par les quatre autres sommets de la même face, et, par suite, pour amener successivement les quatre sommets A’, E, G, I dans les positions d'abord occupées par les seize autres sommets du dodécaèdre. Donc les vingt sommets du dodécaèdre seront en même temps les sommets de cinq tétraèdres réguliers.

Supposons à présent que du centre d’un polyèdre régulier on mène des rayons vecteurs aux divers sommets de ce polyèdre. On construira ainsi une espèce de hérisson; et, si l’on considère une grandeur ou quantité dont la valeur dépende de la direction d’une droite émanant du centre du polyèdre, la moyenne arithmétique entre les diverses valeurs de cette quantité correspondantes aux divers rayons vecteurs ne variera pas, lorsqu'un mouvement de rotation imprimée au hérisson l’aura déplacé de manière à substituer les rayons vecteurs l’un à l’autre. Si cette dernière condition n’est pas remplie, la moyenne arithmétique dont il s’agit acquerra en général, après le déplacement du hérisson, une valeur nouvelle. Mais, cette valeur dépendant uniquement du nouvel aspect sous lequel le hérisson se présentera, on pourra, sans l’altérer en aucune manière, supposer que, en vertu du mouvement de rotation, la droite suivant laquelle un des rayons vecteurs était primitivement dirigé est venue s'appliquer sur la direction

du rayon vecteur qui, après le déplacement, forme avec cette droite le plus petit angle. C'est dans cette hypothèse que l’on doit se placer pour établir un lemme énoncé dans la dernière séance, savoir qu'un déplacement déterminé d'un polyédre régulier tournant autour de son centre peut toujours être considéré comme le résultat de trois déplacements successifs dont chacun serait produit par un mouvement de rotation du polyéèdre autour de l’un des rayons vecteurs menés du centre aux som-

mets.

ANALYSE

Considérons un polyèdre régulier inserit à la sphère dont le rayon est l’unité, et traçons sur la surface de la sphère des ares de grands cercles qui aient pour cordes respectives les diverses arêtes du polyèdre. Cette surface sera partagée en polygones sphériques réguliers, dont le système formera une espèce de réseau; et le point de la surface qui servira de centre à chaque polygone sera le sommet commun de triangles sphériques isoscèles qui auront pour bases respectives les divers côtés du polygone. Enfin chaque triangle isoscèle se partagera en deux triangles rectangles qui auront pour sommet commun Île milieu de sa base. Cela posé, soient

m le nombre des côtés de chaque face du polyèdre régulier, ou, ce qui revient au même, de chacun des polygones qui composent le réseau tracé sur la surface de la sphère;

a l’un de ces côtés, ou, en d’autres termes, la base de l’un des triangles sphériques isoscèles ;

r l’un des côtés égaux de ce triangle;

s l’are de grand cercle qui joint le sommet de l’un des triangles sphériques isoscèles au milieu de sa base; .

n le nombre des arêtes qui, dans le polyèdre régulier, aboutissent à

chaque sommet.

Dans le triangle sphérique rectangle qui aura pour hypoténuse 7,

Ag a HE Ne Le Ag’ | ES pour côtés = ets, les angles opposés à ces derniers côtés seront évi-

T T ; demment et Le Par suite, on aura

T T cos -— COS — : x |) COSS — ) cos 7 — COS 3 COSS.

Re 14 R pin. SIN:

«a I COS — = (1) :

De plus, chacun des triangles sphériques isoscèles, offrant avec la

base a deux côtés égaux à r, donnera

sinr n (2) = sin a 2T S — Remarquons d’ailleurs que l’on aura Pour le tétraèdre.....,.... HER A2, Pour l’hexaèdre........... mt, En: À Pour l'ottaèdre::.. 1%: mes, nr, Pour le dodécaëèdre........ MY, A3, Pour l'icosaédre,:;::.:,971% de Es n=S,

Enfin, l’arc D? toujours inférieur à un quart de circonférence, étant

déterminé par la première des équations (1), les ares a et 2a se dédui-

ront des formules

a (3) COSa— 2008 —1, COS2a — 2 COS? 4 — 1.

A l’aide des formules (1), (2), (3), on reconnaitra immédiatement que l’arc 2(7 — a) dans le tétraèdre, et l’are a dans chacun des autres polyèdres réguliers, est toujours supérieur à l'arc r. Il y a plus : on

aura, pour le tétraèdre, T—a=r,

et, pour chacun des autres polyèdres réguliers, a>r.

D'autre part, il est aisé de reconnaitre : 1° que, si le réseau sphérique, tracé sur la surface de la sphère, tourne autour de l’un de ses

nœuds, c’est-à-dire autour de l’un des sommets du polyèdre régulier donné, le déplacement de l’un quelconque des sommets voisins pourra être mesuré par l’un quelconque des arcs de grand cercle inférieurs à 2a, ou, quand il s’agira du tétraèdre, à 2(r — a); 2° que tout point situé dans l’intérieur d’un des polygones réguliers dont le système compose le réseau sphérique sera séparé d’un ou de plusieurs sommets de ce polygone, par une distance que mesurera un arc de grand cercle inférieur à r. En partant de ces remarques, on démontre aisément le lemme ci-dessus rappelé, et, par suite, les diverses propositions énoncées dans la séance précédente.

Ajoutons que le théorème IT permet évidemment de simplifier la démonstration du théorème IT de la page 6, ou du moins d'étendre la démonstration donnée pour le cas’ du tétraèdre au cas où le polyèdre régulier devient un cube ou un dodécaèdre.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les valeurs moyennes des fonctions

d’une ou de plusieurs variables, et sur les fonctions isotropes.