C. R., T. XXVI, p. 624 (12 juin

Considérons d’abord une fonction w d’une seule variable x, et supposons que cette fonction reste continue entre deux valeurs données de la variable. Si, après avoir interposé entre ces deux valeurs d’autres valeurs équidistantes dont le nombre, représenté par 72 — 1, soit très considérable, on cherche les diverses valeurs de la fonction w correspondantes aux 2 + 1 valeurs données de la variable æ, la moyenne arithmétique entre ces valeurs de w se transformera, quand le nombre x deviendra infini, en ce que nous nommerons la valeur moyenne de la fonction , et cette valeur moyenne sera le rapport des deux intégrales définies relatives à æ, dans lesquelles les fonctions sous le signe of seront u et l'unité. Pour plus de commodité, je désignerai cette valeur

OEuvres de C.— S.I,1.XI. 3

moyenne de w à l’aide de la lettre caractéristique M, et je placerai au-dessous et au-dessus du signe M les limites de la variable, suivant l’usage adopté pour les intégrales définies.

Concevons maintenant que x représente une fonction de plusieurs variables æ, y, ..., qui reste continue pour les systèmes de valeurs de æ, y, ... comprises entre certaines limites. Le rapport entre les deux intégrales définies, qui, étant relatives à æ, y, ..., et prises entre les limites données, renfermeront sous le signe / la fonction « et l'unité, sera la limite vers laquelle convergera la moyenne arithmétique entre les valeurs de # qui correspondront à des éléments égaux de la seconde intégrale. Pour cette raison, le rapport dont il s’agit sera nommé la valeur moyenne de la fonction u.

On doit remarquer le cas particulier où les variables se réduisent, soit à un angle polaire mesuré dans un plan donné, soit à une abscisse mesurée sur un certain axe, et à un angle polaire décrit par un plan qui tourne autour de cet axe. Dans le dernier cas, les éléments de la seconde intégrale ne sont autre chose que les éléments d’une surface sphérique qui a pour centre l’origine des coordonnées. Alors aussi, quand les doubles intégrales sont prises, par rapport à l’abscisse, entre les limites — 1, +1, et, par rapport à l’angle polaire, entre les limites — 7, + +, la moyenne qu’on obtient est la moyenne arithmétique entre les valeurs de la fonction w correspondantes à des éléments égaux et infiniment petits de la surface totale de la sphère. Cette moyenne, d’ailleurs, dépend uniquement de la loi suivant laquelle « varie avec la direction d’une droite mobile menée par l’origine des coordonnées. Elle est, au contraire, indépendante des directions assignées à l’axe des abscisses et au plan polaire; elle demeure donc invariable, tandis qu’on fait tourner cet axe et ce plan, d’une manière quelconque, autour de l’origine. Pour cette raison, la moyenne dont il s'agit sera nommée moyenne isotropique.

Si la fonction w dépend seulement d’un angle polaire, la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de cette fonction ne sera autre chose que sa valeur moyenne.

Concevons maintenant qu'une certaine grandeur w soit représentée par une fonction des coordonnées rectangulaires de divers points. Cette fonction variera généralement avec les directions des axes coordonnés. D'ailleurs, la direction d’un premier axe pourra être déterminée à l’aide d’une abscisse, mesurée sur une certaine droite, et d’un angle polaire décrit par un plan mobile qui tournerait autour de cette droite. De plus, la direction d’un second axe perpendiculaire au premier pourra être déterminée à l’aide d'un second angle polaire décrit par un plan qui tournerait autour du premier axe. Cela posé, nommons # la moyenne arithmétique entre les valeurs de w correspondantes au second angle polaire, et æ la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de v. La quantité w sera ce qu’on peut appeler la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de u.

Dans le cas particulier où la fonction w deviendra indépendante des directions attribuées aux axes coordonnés, nous dirons qu’elle est isotrope. Alors, la moyenne isotropique entre les valeurs de la fonction correspondantes aux diverses positions des axes coordonnés ne sera autre chose que la fonction elle-même.

Lorsqu'une grandeur Q dépend des positions de plusieurs points, elle peut être représentée par une fonction de leurs coordonnées, et, si l’on exprime ces coordonnées, supposées variables, par conséquent relatives à des axes mobiles, en fonction de coordonnées relatives à des axes fixes, cette transformation de coordonnées introduira dans l'expression de la grandeur dont il s’agit, trois angles variables ©, 4» Ÿ. Alors aussi la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de la fonction sera représentée par une intégrale triple, relative à ces trois angles. Mais, avant de passer des axes mobiles aux axes fixes, on pourrait passer des axes mobiles à d’autres axes liés invariablement avec les premiers. Il en résulte que la moyenne isotropique cherchée ne variera pas, si à la fonction donnée des coordonnées primitives on substitue la fonction trouvée des coordonnées nouvelles, en considérant ces dernières coordonnées comme variables, et les trois angles ©, Ÿ, y comme constants. Il y a plus : comme cette

proposition subsistera, quels que soient les angles ©, y, Ÿ, elle subsistera encore quand on remplacera la fonction trouvée par sa valeur moyenne, relative à un ou à plusieurs des angles dont il s’agit. Ce principe permet d’établir, sur les moyennes isotropiques, un théorème remarquable que nous allons indiquer en peu de mots.

Lorsque la grandeur Q, qui dépend des positions de plusieurs points, est représentée par une fonction entière de leurs coordonnées, 1l est facile d’obtenir en termes finis, souvent même, comme on le verra dans mon Mémoire, sans effectuer aucune intégration, la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de Q, Si la grandeur Q est le produit d’une fonction entière de diverses coordonnées par un facteur qui dépende d’une fonction linéaire des coordonnées d’un seul point, il ne sera plus généralement possible d'obtenir en termes finis l'intégrale triple qui représentera la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de Q. Mais, à l’aide du principe ci-dessus énoncé, on pourra réduire cette intégrale triple à une intégrale simple. Cette proposition, très générale, renferme comme cas particulier le théorème à l’aide duquel Poisson a intégré l'équation du mouvement du son.

Les moyennes isotropiques et les fonctions isotropes jouent un rôle important dans la solution des problèmes de Physique mathématique. Ainsi, par exemple, c’est en remplaçant certaines fonctions par les moyennes Isotropiques entre leurs diverses valeurs, que, dans mes Exercices d'Analyse, j'ai réduit les équations des mouvements infiniment petits d’un ou de deux systèmes de points matériels à la forme qu’elles acquièrent quand ces systèmes deviennent isotropes. Lorsqu’à un système de points matériels on substitue un système de molécules dont chacune peut, non seulement se déplacer ou tourner sur ellemême, mais encore subir dans les divers sens’ des condensations ou dilatations diverses, il devient plus difficile d’effectuer la même réduction, et d’obtenir en termes finis les équations des mouvements infiniment petits d’un système isotrope. Toutefois, en s’appuyant sur le théorème général ci-dessus rappelé, on peut encore effectuer la réduction demandée. C’est, au reste, ce que je montrerai dans un prochain

Mémoire, où je substituerai au système des six équations qu'a données M. Laurent, et qui déterminent les mouvements de translation et de rotation des molécules, le système de douze équations qui déterminent, en outre, les six inconnues desquelles dépendent les condénsations et dilatations linéaires. On verra que, dans tous les cas, les seconds membres des équations des mouvements infiniment petits des systèmes isotropes renferment uniquement les trois espèces de termes qui se trouvaient déjà dans mes équations différentielles de la polarisation chromatique. Il n’est donc pas étonnant que cette polarisation soit la seule modification qu’imprime à un rayon lumineux son passage à travers un milieu isotrope.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les valeurs moyennes des fonctions

el sur les fonctions 1SOlropes.