C.R., T. XXVII, p. 525 (20 novembre

Mémoire sur les fonctions discontinues. Examen spécial d’une fonction discontinue &(x, y,3,...) qui se réduit à une fonction continue H(æ,y,3,...) quand les variables æ, y, s:, ... demeurent comprises entre des limites réelles et constantes æ = x, x — x", Y=Y,y=7Y",.….,et qui s'évanouit toujours dans le cas contraire. Détermination de la fonction discontinue &(x, y, :,...), considérée comme valeur particulière d’une fonction continue, quand les va-

riables æ, y, z, ... deviennent imaginaires. Démonstration du théorème suivant lequel &(æx,y,3,...) se réduit alors à II(æx, y,z,...)

quand les parties réelles de æ, y, z, ... sont toutes comprises entre les limites ci-dessus indiquées, et à zéro dans le cas contraire.

Première Notre. — Application des principes établis dans le Mémoire précédent à ‘intégration de l'équation homogène

F(D, Des Dy, Ds, .:.)5 —0.

Vitesse de propagation des ondes planes représentée, au signe près,

par la valeur de s tirée des formules F(s, a, 6, y; -:..)=0, C++ V4... —it,

quand cette valeur est réelle; et par la partie réelle de s, quand s

devient imaginaire.

Deuxième NoTE. — Détermination générale de la fonction principale qui vérifie l'équation homogène. Ondes courbes et très minces, considérées comme des enveloppes d'ondes planes. Nappes diverses des ondes courbes. La dérivée de l’ordre 2 — 2 de la fonction principale est rigoureusement nulle en dedans de la plus petite nappe, en dehors de la plus grande nappe, et entre les nappes elles-mêmes, quand les diverses nappes: offrent des surfaces d’ellipsoide semblables entre elles.

Cette proposition se vérifie encore lorsque, toutes les valeurs de s étant réelles, on néglige les quantités comparables au cube de l’épais-

seur des ondes.

Troisième Note. — Si l’on fait abstraction du cas spécial traité dans la Note précédente, la dérivée de l’ordre z — 2 de la fonction principale sera généralement nulle, en dedans de la plus petite nappe: mais elle ne s'évanouira rigoureusement en dehors de la plus grande nappe que dans le cas où toutes les valeurs de s seront réelles.

EXTRAIT No 496. 89

M. Aucusrin Caucay présente à l’Académie des recherches nouvelles sur les objets ci-après indiqués :