C. R., T. XXVI, p. 666 (19 juin

ANALYSE

Supposons que l'on fasse varier æ, y, 3, ... entre les limites

TL — Lo T—ZT:, F = Jos T—Y1 TE S = Sis ., Yos Y, pouvant être fonctions de æ, et z,, 3, fonctions de æ, y, etc. Soit d’ailleurs © une fonction de x ou de x, y, etc., qui reste con-

tinue entre les limites dont il s’agit. La valeur moyenne de @ entre ces limites sera

x = x 0 dx . L'= Lo dd:

ou a Ti Ji rem, Y=Y: £ À 0 dx dy (2) : M gs ,

= Lo, Y=Y0 CA “Yi - RAR de É Î dx dy x Yo

Concevons maintenant qu'un système de points matériels A, A, À, .. liés invariablement les uns aux autres, soit mobile, mais assujetti à tourner autour d’un point fixe, et que @ varie avec les directions de trois axes mobiles liés invariablement au système. Supposons d’ailleurs, pour plus de commodité, ces axes perpendiculaires l’un à l’autre. @ pourra être considéré comme fonction des neuf angles formés par les trois axes mobiles avec trois axes fixes. Il y a plus : ces neuf angles, liés entre eux par six équations, pourront être réduits à trois angles polaires ©, y, Ÿ, ces angles étant ceux que formeront l’un des axes mobiles avec un axe fixe, ou le plan de ces deux axes avec le plan mené par l’un d’entre eux, de manière à renfermer ou deux axes

fixes ou deux axes mobiles. Cela posé, si l’on fait, pour abréger, = COS,

les diverses positions que pourra prendre le système de points maté- riels correspondront toutes à des valeurs des variables

n,: Li 0

comprises entre les limites a—=—1, Eure X=—T; rs À d—== 7, Er D

et la valeur moyenne de @ entre ces limites sera indépendante des directions assignées aux axes fixes. Si l’on désigne cette moyenne à l’aide de la lettre caractéristique 3%, alors 3K@ sera précisément ce que j'ai nommé la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de @,

et l’on aura > Lis 1 PAR Me [ff eva da

(3) M6 — M gratis , Ft re à 4 L dy dy da Vr/—-r%—1 par conséquent, é

(4) | me [ [7 [ eutaraa:

Si @, dépendant uniquement de la direction assignée à un axe fixe,

se réduit à une fonction des seuls angles 9, y, la formule (4) donnera

[ ui [l (5) me= pe f fe dr da CLR AE Ar

Enfin, si @, dépendant uniquement de la distance assignée à un plan fixe, se réduit à une fonction de l'angle y, on aura

K (6) me= 2 f{ 647.

— Soient maintenant

r,r, r, «.. lesdistances de l’origine aux points matériels À, À,, À,, ...;

L,Y,33 LV, 3,3 Ts Y,s 2,3 -.. les coordonnées de ces points mesurées sur les axes mobiles;

X, V, 25 X, Vs 2,5 X Vs 2,3 ... les coordonnées des mêmes points

mesurées sur les axes fixes ; et posons (73: DRE TT...) Les coordonnées æ, y, z seront liées avec les coordonnées x, v, z par des équations de la forme

T=AXx +6y +72, (8) y =ax+6"y + 7y'z,

et, si l’on nomme ©, y, Ÿ les angles polaires que forment l’axe'des x avec l'axe des x, et le plan des æx avec les plans des xy et des æy, on

aura æ — COSY, 8— sinpcosy, y = Singsin#, (9) {æ'=sinocosY, 6'——siny sing — cospcosx cos, y'— cosy sing — cos? sin y COS Ÿ, [æ"—singsing, 6"— sinxcosh— cosypcosysinY, y”—— Cosyx COsY — cos y siny sin ÿ.

Cela posé, en considérant les coordonnées x, y, Z, X,, Y,, Z,, -.. Comme

constantes, et les coefficients &, 6, y, «’, ... comme variables avec o, 4; Ÿ, on aura |

(11) AO = F (ax + 8y + yz, ax + 6! y + y'z, ax + 6"y + y'z, ...).

Si, pour éviter l'emploi d’un trop grand nombre de lettres, on écrit, dans la formule (11), æ, y, 3, æ,, ... au lieu de x, y, Z,x,,..., on aura, en considérant les coordonnées æ, y, 3, æ,, ... comme constantes, et les coefficients &, 6, y, ... comme variables,

(12) IMO—INMF(ar +67 +ys, «x +6'y+yz, ax +6'y+y"s, ...).

Mais, puisque la moyenne 310 est indépendante des directions assignées aux axes fixes, elle ne sera point altérée si l’on passe d’un système d’axes mobiles à un autre système d’axes mobiles liés invariablement aux premiers, sauf à passer ensuite du nouveau système d’axes mobiles à un système d’axes fixes. Donc la formule (12) continuera de subsister si l’on considère dans le second membre, non plus «, 6, y, «,... comme variables et æ, y, z, ... comme constantes, mais, au contraire, «, 6, y, «’, ... comme constantes et æ, y, 3, &,, y,, 3

comme variables. On aura donc, sous cette condition,

MF(zx,7,3,2,7,,2, - 149 3) |

Il y a plus : comme le second membre de l'équation (13) ne variera

pas quand on remplacera un système particulier de valeurs de :«, 6,

y, a, ... par un autre, on pourra, sans altérer ce second membre, y

substituer à la fonction placée sous le signe av la valeur moyenne. entre plusieurs valeurs de cette fonction correspondantes à divers

systèmes de valeurs de &, 6, y, x’, ..., et, par suite, sa valeur moyenne

par exemple, en appliquant l'opération qu'indique le signe %t aux

seules coordonnées æ, y, 3, &, Y,, 3,, ...,