C. R., T. XXIX, p. 42 (16 juillet r

L’Astronomie mathématique, sujet principal de mon cours à la Faculté des Sciences, a naturellement rappelé mon attention sur les séries à l’aide desquelles on détermine les valeurs des inconnues dans les mouvements planétaires, par conséquent sur les règles générales de la convergence des développements des fonctions explicites ou

EXTRAIT No 437. 135

implicites, et sur les limites des restes qui complètent ces développements quand on les arrête après un certain nombre de termes. Les réflexions que j'ai faites à ce sujet m'ont fourni la solution de quelques difficultés qui n'étaient pas sans importance, et m'ont permis de perfectionner encore en plusieurs parties la théorie des suites, ainsi que je vais le dire en peu de mots.

Je rappellerai d’abord que, si l'on désigne par «, le terme général d'une série simple (1) ud UE, Us, Ro par r, le module de ,, et par / le module de la série, c’est-à-dire la

limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge (7, )’

pour des valeurs croissantes de 2, la série sera convergente, quand on aura /<{ 1, divergente, quand on aura {> r. Si, en désignant par

3 = reiP une variable dont le module soit r et l'argument p, on pose Me, a) alors en nommant # le module de la série (2) DR OR is ee.

dont le terme général est a,, on trouvera ÉSAE, et par suite la série

(3) dos 13, A28?,

sera convergente quand on aura r <>» divergente quand on aura Rae je cu oi r> 7: Ajoutons que, si f(z) désigne une fonction explicite de z qui,

avec sa dérivée f'(z), demeure fonction continue de r et de p, pour tout module r de z inférieur à une certaine limite «, /(z) sera développable, pour un tel module, en une série de la forme (3), et qu'alors

on aura précisément

si à la valeur « du module r on peut joindre une valeur de l’argument p tellement choisie, que la fonction f(s) ou fs) .

devienne infinie.

Je prouve encore que, si F(z) étant avec sa dérivée F(3) fonction continue de z et de divers paramètres s, £, ..., on fait varier ces paramètres par degrés insensibles, la valeur de 3 déterminée par l’équa-

tion

F(z) 2=:0 restera généralement fonction continue de s, {, ... jusqu’au moment où l’on aura

De ces diverses propositions, on peut aisément déduire les règles de la convergence et les modules des séries qui représentent les développements des fonctions implicites d’une seule variable. On en conclut, par exemple, que si &(z) désigne une fonction toujours continue de = une racine

u=s4s de l'équation

(4) u—tw(u)—s ou

(9) 3—tw{(s+z)=0

pourra être développée par la formule de Lagrange en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de {, jusqu’au moment où le module 0 de £ acquerra une valeur @ qui permettra de vérifier simultanément l'équation (5) et la suivante

et que, jusqu'à ce moment, toute fonction continue de z sera elle-

même développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de £. On en conclut aussi que les séries propres à représenter les développements de z et de w, suivant les puissances ascendantes de 4, auront précisément pour module le rap-

(] port ©’

Ce n’est pas tout : si l’on nomme v celle des racines de l'équation (4) qui se réduit à s pour { — 0, et f(z) une fonction continue de z, on aura, en vertu de la formule de Lagrange,

(7) f(v)=f(s)+ S Aer, NET

la valeur de T, étant

(8) Te — Dr" {f(s) [u(s)}"].

Si d’ailleurs on nomme + et p les valeurs de r et p tirées des équations (5), (6), et correspondantes au module @ de #, alors, en attri-

buant à 5 = reir

un module r égal ou inférieur à r, on pourra remplacer la formule (8)

par la suivante 1 Ft w(s+z)]" dj En zf(s+ 3) Eva DE LE . T

et en posant, pour abréger,

2 f(s+ 3) =f(z), NE) Æ:

on aura " 14 (9) Re se 2 f(sz) dp.

Soient maintenant FR

les modules maxima maximorum de