RENE

des expressions imaginaires par la théorie des quantités que j'appellerai géométriques, en mettant à profit les idées émises et les notations employées, non seulement par les auteurs déjà cités, mais aussi par M. de Saint-Venant dans un Mémoire digne de remarque sur les sommes géométriques. C’est ce que j'essaye d'expliquer dans une Note qui s’imprime en ce moment, et qui offrira une sorte de résumé des travaux faits sur cette matière, reproduits dans un ordre méthodique, avec des modifications utiles. Je me bornerai pour l'instant à extraire de cette Note quelques notions relatives aux quantités géométriques, et deux théorèmes sur lesquels s'appuie la méthode nouvelle que je propose pour la résolution des équations de tous les degrés.

S I. — Quantités géométriques, définitions, notations.

Menons dans un plan fixe, et par un point fixe, pris pour origine ou pôle, un axe polaire OX. Nous appellerons quantité géométrique et nous désignerons par la notation(r, un rayon vecteur tracé dans ce plan, et dont la longueur r sera mesurée dans la direction qui formera, avec l'axe fixe, l’angle polaire p. La longueur r sera la valeur numérique où le module de la quantité géométrique r,, l'angle p en sera l'argument. Le point à partir duquel se mesurera la longueur r et le point auquel elle aboutira seront l'origine et l'extrémité de cette longueur ou quantité géométrique.

Deux quantités géométriques seront dites égales entre elles quand elles offriront la même longueur mesurée dans la même direction ou dans des directions parallèles. Il en résulte que l'équation

R,= rh

entrainera toujours la suivante À à Er à P—p+2kr, cos P — cosp, sin P = sinp,

£ étant une quantité entière quelconque.

Cela posé, la notion de quantité géométrique comprendra, comme OEuvres de C.—S.1,t. XI. 20

cas particulier, la notation de quantité algébrique, positive ou négative, et, à plus forte raison, la notation de quantité arithmétique ou de nombre, renfermée elle-même, comme cas particulier, dans la notion de quantité algébrique. |

Après avoir défini les quantités géométriques, il est encore nécessaire de définir les diverses fonctions de ces quantités, spécialement leurs sommes, leurs produits et leurs puissances entières, en choisissant des définitions qui s'accordent avec celles que l’on admet dans le cas où il s’agit simplement de quantités algébriques. Or cette condition sera remplie, si l’on adopte les conventions que nous allons indiquer.

Étant données plusieurs quantités géométriques

ce que nous appellerons leur somme, et ce que nous indiquerons par la notation PTS Tue rca

ce sera la quantité géométrique que l’on obtient quand on porte, l’une après l’autre, les longueurs 7, r’, r”, ... dans les directions indiquées par les arguments p, p', p’, ..., en prenant pour origine de chaque longueur nouvelle l'extrémité de la longueur précédente, et en joignant l’origine de la première longueur à l'extrémité de la dernière. En vertu de cette définition, le module de la somme de deux quantités géométriques est toujours compris entre la somme et la différence de leurs modules. De plus, la somme de plusieurs quantités géométriques aura pour module un nombre qui ne surpassera jamais la somme de leurs modules.

Ce que nous appellerons le produit de plusieurs quantités géométriques sera une nouvelle quantité géométrique qui aura pour module le produit de leurs modules, et pour argument la somme de leurs arguments. :

En vertu de cette définition, le produit de plusieurs sommes de quantités géométriques sera la somme des produits partiels que l'on

1 CIRE 1 Ch |

peut former avec les divers termes de ces mêmes sommes en prenant un facteur dans chacune d'elles. D'ailleurs on indiquera ce produit à l’aide des notations appliquées aux quantités algébriques.

On aura, par suite,

(1) PSE Enr EE peu pre - <

La mime puissance de la quantité géométrique r,, m étant un nombre entier quelconque, sera le produit de » facteurs égaux à r,. Cette puissance sera indiquée par la notation r}', et l'équation (1)

donnera re tr (7 )mpe

Deux quantités géométriques seront dites opposées l'une à l’autre, lorsque leur somme sera nulle, et enverses l'une de l’autre, lorsque leur produit sera l'unité.

Enfin, pour les quantités géométriques, comme pour les quantités algébriques, la soustraction, la division, l'extraction des racines ne seront autre chose que les opérations inverses de l'addition, de la multiplication, de l’élévation aux puissances. Par suite, les résultats de ces opérations inverses, désignés sous le nom de différences, de quotients, de racines, seront complètement définis. Ils s'indiqueront d’ailleurs à l’aide des notations usitées pour les quantités algébriques. Ainsi, en particulier, la différence des deux quantités géométriques À,, r, s'indiquera par la notation À, — r,, et leur rapport Bo,

ou quotient par la notation P

Lorsque, dans une somme ou différence de quantités géométriques, quelques-unes s'évanouiront, on.pourra se dispenser de les écrire. Par suite, +r, et — r, représenteront la somme et la différence des deux

uantités ren sorte u’on aura P + lp = lp — lp = Tp4re

Ces définitions étant adoptées, il sera facile de déterminer Îles diverses racines d’une quantité géométrique, par exemple les ra-

cines is (le l’unité. On reconnaitra, en particulier, que l'unité a

pour racines carrées Poe et In —=—4#,

pour racines cubiques

pour racines quatrièmes

etc.

L'une de ces racines, savoir 1,, est précisément la quantité géomé- 2 :

trique que l’on est convenu de désigner par la lettre 1. Elle est tout à

la fois l’une des racines quatrièmes de l'unité, et l’une des racines

carrées de —1. Ê

Lorsque la quantité géométrique r, a le pôle pour origine, son extrémité peut être censée avoir pour coordonnées polaires les quantités algébriques r, p, et pour coordonnées rectangulaires les quantités algébriques +, y liées à r, p par les formules