LT'ENCOBP, YE FIND

Alors aussi on trouve rh=æ+iy=r(cosp +isinp);

puis, en posantr —=1, 1, — COSp +isinp.

Ajoutons que des formules FT iY, PR art LAURE ENT CS dé

on tire immédiatement

On a aussi

S IT. — Fonctions entières; équations algébriques. Méthode nouvelle pour la résolution générale des équations.

Suivant l'usage adopté pour les quantités algébriques, une quantité géométrique pourra quelquefois être désignée par une seule lettre.

Cela posé, soient z —r, une quantité géométrique variable, et a, b, c, .., À des coefficients constants, qui pourront être eux-mêmes des quantités géométriques. Si l’on pose

(1) Z=a+bz+cz+...+hzr,

Z sera ce que nous appellerons une fonction entière de z, du degré n, et

sera une équation algébrique. Soient d’ailleurs a, b, c, ..., h les modules des coefficients «a, b, ec, ..., h, et R le module de Z. Pour

F R LR:

de très grandes valeurs du module r de z, le rapport = se réduira

sensiblement au nombre h. Donc, par suite, À deviendra infiniment

grand avec r, et ne pourra s’évanouir que pour des valeurs finies de r et de z. |

Concevons maintenant que le module 7 de z passe d’une valeur nulle à une valeur très petite, et nommons p,, la racine de l’équation linéaire (3) a+ bz —o.

Quand on posera 3 =7r,, en prenant r inférieur à p, le module du binôme

a + bz sera précisément égal à

a— br,

et le module de Z sera égal ou inférieur à la somme

ns pq, sr

a—br+cr+...+hr".

Donc le module de Z sera inférieur au module a de son premier terme a, si la différence

(5) Dr—Cr—;) hr

est positive, ce qui aura toujours lieu, si l’on prend à la fois rZp et rzt, « étant la valeur de r qui rend cette différence un maximum, et qui coïncide avec la racine positive unique de l'équation

(6) b—2cr—...—nhr"!=0o.

En résumé, on peut énoncer la proposition suivante :

Tuéorème 1. — La fonction entière Z acquerra un module R inférieur au module à de son premier terme a, si l’on pose : —7r,, r étant égal ou inférieur au module p de la racine ? de l'équation (3) et à la racine positive « de l'équation (6). Donc à surpassera le plus petit des modules

de Z correspondants aux deux suppositions 3 = y to

Le théorème précédent ne serait plus applicable à la fonction Z si le coefficient de z dans cette fonction s’évanouissait, ou, en d’autres termes, si cette fonction était de la forme a + bz'+cz"+...+hz, l,m,..., n étant des nombres entiers. Mais alors on pourrait au théorème I substituer la proposition suivante :

THÉORÈME IT. — Sotent (7) Z=a+bz'+cst+...+hzr une fonction entière de la variable z — r,, et a, b, ce, ..., h les modules des coefficients a, b, c, ..., h. Supposons d'ailleurs que les nombres [,

m, .…., n forment une suile croissante, et que, les coefficients a, b n'étant

pas nuls, on nomme p., l'une quelconque des racines de l'équation binôme (3) a + bz!—o.

Enfin, soit la racine positive unique de l'équation

(9) Ib—mterr-t.;,. nhr = 0.

Le module a du premier terme de la fonction Z surpassera le plus petit des

modules de Z correspondants aux deux suppositions DJs 54 Pa» f- por toy.

S'il arrivait que la fonction Z offrit, à la suite de son premier terme a, un ou plusieurs autres termes dont les coefficients fussent sensiblement nuls, alors, en se servant du théorème I ou Il, pour déterminer un module de Z inférieur à celui de «a, on pourrait faire abstraction de ces mêmes termes, sauf à constater ensuite que le module de Z, quand on a égard aux termes omis, reste inférieur au module de a.

Lorsque, en s'appuyant sur le théorème I ou IE, on aura fait décroitre le module À de Z, en faisant passer la variable z de zéro à une valeur r distincte de zéro, il suffira, pour opérer une nouvelle diminution du module À, d'attribuer à la valeur ,, de z un accroissement que nous désignerons par €, et d'appliquer le théorème I ou I À Z considéré comme fonction, non plus de la variable 3, mais de la variable €.

En opérant comme on vient de le dire, on pourra faire décroitre sans cesse, et même rapprocher indéfiniment.de zéro le module À de la fonction Z. Les valeurs successives de 3, qui correspondront aux valeurs décroissantes de À, formeront une série dont le terme général aura pour limite une racine de l'équation (2). Si l’on nomme Ë la dif-

férence entre la variable z et cette racine, le rapport 7 sera une fonc-

tion entière de €, par conséquent de z, du degré 7 — 1; et en faisant décroître, à l’aide du théorème I ou Il, le module de cette nouvelle fonction, on fera converger = vers une nouvelle racine de l’équation (2). En continuant de la sorte, non seulement on conclura des théorèmes énoncés que l'équation (2) admet toujours z racines égales ou inégales, mais encore on obtiendra de ces racines des valeurs aussi approchées que l'on voudra. Ainsi les théorèmes I et I fournissent, pour la résolution d'une équation algébrique de degré quelconque,

une methode nouvelle et très générale qui paraît digne d’être remarquée.

Si l'équation donnée se réduisait à l’équation binôme (r) ou (8), la racine unique ou les racines de l'équation se réduiraient au rapport — e ou aux racines ni de ce rapport.

Dans tout autre cas, lorsque l’approximation résultante de l’application de la méthode à la détermination d’une racine sera devenue très considérable, le module désigné par p, dans le théorème I, sera généralement très petit, et la méthode nouvelle se confondra simplement avec la méthode Ænéaire ou newtonienne fondée sur l’emploi de la seule équation (3), si l'équation (2) n’offre pas plusieurs racines égales à celle vers laquelle convergent les valeurs successives de z.

Lorsqu'on veut se borner à démontrer l’existence des racines des équations algébriques, on peut se contenter d'observer que le module de Z décroit quand on pose : = r,,, en attribuant à r une valeur infiniment petite, et l’on se trouve ainsi ramené à la démonstration que M. Argand adonnée de cette existence, dans le IV° Volume des Annales

de M. Gergonne (p. 133 et suiv.).

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur quelques théorèmes dignes de remarque, concernant les valeurs moyennes des fonctions de trois

variables indépendantes.