ST
et supposons cette surface rencontrée en un seul point par l’un quelconque des rayons vecteurs qui partent de l’origine des coordonnées. Le volume ©, compris dans la surface, sera ce que devient l'inté-
grale S, quand on réduit la fonction f(æ,y,z) à l'unité, et le rap-
$ à port & sera une valeur moyenne de f(x, y,z), savoir, celle qui,
d'après les conventions admises dans un précédent Mémoire, devra
s=t être désignée par la notation f(æ, y,z); en sorte qu'on aura iden-
tiquement
s—0 vis JS f dx dy dz Concevons maintenant que l’on ait
se F(r;y;3).
OEuvres de C.— S.1, XF n;-
Comme la valeur moyenne
dépendra uniquement des formes des fonctions indiquées par les lettres f, F, cette valeur ne sera point altérée, si aux variables x, y, z on substitue d’autres variables qui dépendent des premières et leur soient, par exemple, proportionnelles. Done, si l’on nomme a, b, c des constantes positives, on pourra, dans l’expression (3), remplacer
Ti Ptit et SZ F{(æ,7, 3)
par at, y, ‘cz et F(ax,by,cz),
de sorte qu’en posant Per, CE, CE)
on aura identiquement s#=1 sert
(5) M f(x, 7,3) = M f(ax, by,cs).
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
Tnéorème 1. — La moyenne entre les diverses valeurs de la fonclion f(x, y,z) correspondantes aux divers points du volume termine
par la surface que représente l'équation
sera aussi la moyenne entre les diverses valeurs de la fonction f (ax, by,cz) correspondantes aux divers points du volume compris dans la surface que
4 7 r représente l'équation
(7) F(axz,by,cs)=r.
Enfin, si, en nommant: une variable auxiliaire, on suppose f(x, y, :) choisie de manière que, dans l’intérieur du volume © terminé par la surface (6),
(8) f(ix, 17,12)
LTÉE
reste fonction continue de : pour tout module de t inférieur à l'unité, alors f(Laæ,1by,1cez) restera, pour un tel module, fonction continue de :, dans l’intérieur du volume terminé par la surface (3), et l’on aura identiquement, en vertu de la formule de Maclaurin,
(9) Ham brica)=ermratirPerent(e 6, y),
«, 6, y étant de nouvelles variables auxiliaires que l’on devra réduire à zéro, après les différentiations effectuées. Donc, alors, en posant,
pour abréger, sh: v=P?e w=D,,
on tirera de la formule (5) Set =!
(10) M f(æ,7,3)= M etnr+bmr+ens f(x, 6, y). s=0 =
Le cas où la surface enveloppe, représentée par l’équation (2) ou (6), se réduit à un ellipsoide, mérite une attention spéciale. Dans ce cas, en nommant a, b, c les demi-axes de l’ellipsoide, et en les prenant pour demi-axes des æ, y, 3, on pourra supposer
On aura, par suite, (12) s=(a+P+r =r, r étant le rayon vecteur mené de l’origine des coordonnées au
point (æ,y,z). Donc alors la formule (8) donnera
#3} TT (13) BIT UK AT des Contes 11 7 UE DS s=0
D'autre part, si l’on prend k=(a+b+c},
on aura, en désignant par /(æ) une fonction quelconque de la variable x,
(14) M fax +by+es) = "M /(Ez),
puis on en conclura r=1 Fi
(15) eat+by+cz:— M ekx:
et, comme on aura encore
(1— x?)ekx dx
rs! Se 3 ; ek — ex nn 1 : HAE 2) k ?
a [ (1— x?) dx il est clair que, si l’on pose, pour abréger, ” Lx" RE I k5
3 2 rise ÆS ue
on trouvera définitivement
(17) s TM'esr+br+ezII(k),
r=0 Par suite, si l’on prend 8 — (a? u° + Dv° + ww)?
ou, ce qui revient au même, (18) 8 — au? + b?v? + cw!,
l'équation (13) donnera (19) M f(æ, 5) — I(s) fc, 6, y)
ou, Ce qui revient au même,
8? RE É a 5 rt) 6, n.
