OÙ

s=1 (20) M fæ,y,2)= (+ s—0

En conséquence, on pourra énoncer la proposition suivante :

THÉORÈME Il. — Sr f(æ,y,2) est tellement choisie, que f(ix,1y7,13)

reste fonction continue de 1 pour tout module de v inférieur à l'unité, et

EXTRAIT Ne 442. 165 pour tout point (æ, y, 3) situé dans l'intérieur de l “ellipsoide, dont L ‘équa-

tion est

(21) pr fe

alors, non seulement la série dont le terme general est

sera convergente, mas, de plus, la somme de cette série sera précisément la moyenne entre les diverses valeurs de la fonction f (æ, y, 3) correspondantes aux divers points situés à l’intérieur de ce méme ellipsoïde. | Il est bien entendu qu’en calculant la valeur de l'expression #2 f(x, 6, y),

on devra réduire à zéro, après les différentiations effectuées, chacune des variables auxiliaires &, 6, Y.

Concevons, à présent, que l’on désigne par © Le premier membre de la formule (20). En vertu de cette formule, jointe à l'équation (18), © sera une fonction des trois paramètres a, b, c. Si, d’ailleurs, f(æ, y, 2) vérifie une équation aux dérivées partielles de la forme

(22) (Di+ mDi+ nr DE) f(x, y, 3) = 0, 4, m, n étant trois coefficients constants, on aura encore (23) ({u?+ mv?+ nw°) f(x, 6, y) —0;

et, par suite, on pourra de la valeur de &?, fournie par l'équation (18), éliminer u?, ou v°, ou w°, à l’aide de la formule

(24) lu + mv?+ nw?—= 0;

on pourra, par exemple, à l'équation (18), substituer la suivante :

(25) #= (at o)ur+ (ot ot) v

Done alors la quantité @ se trouvera réduite à une fonction des différences

D'ailleurs, ces différences ne seront point altérées, si l’on fait croître ou décroître respectivement les carrés

de quantités de la forme CE ARR LORS ES

ÿ désignant un nouveau paramètre. Donc, si l’on pose

(26) O0 —=w(a?, b?, c?) et (27) 6 —w(a?— O1, b?— Om, c°— On),

c’est-à-dire si l’on désigne par @ la moyenne entre les diverses valeurs de f(æ, y, =) correspondantes aux divers points situés dans l’intérieur de l’ellipsoide, dont l'équation est

x? 5 gd 2?

ANT NE ne

on aura identiquement, au moins pour des valeurs de 0 comprises entre certaines limites, ® — 6, et

(29) 9 — O6 — oo.

D'ailleurs, si dans l'équation (28), qui subsistera certainement pour

de très petites valeurs du paramètre 0, on fait varier ce paramètre à partir de 0 — o, alors, en vertu des principes établis dans un précé-

dent Mémoire (Comptes rendus, Tome XX, p. 375) (‘), elle continuera p de subsister, tant que le premier membre @ — @ restera fonction con-

tinue de 0. Enfin cette dernière condition sera remplie, si 9 varie

entre des limites telles que

(30) f(x Va? 61, yVb?— 6m, :Vc°— Un)

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. IX, p. 32.

reste fonction continue de 0 pour tout point situé dans l’intérieur de la sphère représentée par l'équation

On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

THéorèME IT. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II, on n'aliérera pas la moyenne entre les diverses valeurs de {(x, y, =), si à l’ellipsoide représenté par la formule (20) on substitue l ‘ellipsoide representé par la formule (28), en attribuant au paramètre 0 une valeur numerique comprise entre zéro et une limite supérieure tellement choisie que, dans l'intervalle, l'expression (30) demeure fonction continue de ce paramètre, pour tout point (x, 7, z) dont la distance à l’origine ne

surpasse pas l'unité.

Corollaire I. — @ devant être, en vertu de la formule (29), égal à O, et par suite, indépendant de 0, on en conclura

puis, eu égard à l'équation (27),

l n 0 ir ARS c ;

par conséquent,

D,6 D,0 D.0 + m ee ME = 04 b C

Corollaire II. — Des principes ci-dessus rappelés il résulte que, sans altérer la valeur moyenne de f(æ, y, 3), et, par conséquent, sans détruire l’équation (29), on pourra faire varier, non seulement le paramètre 0, comme il est dit dans le théorème III, mais encore les paramètres a, b, c, pourvu, toutefois, qu’en vertu de ces variations © ne cesse pas d'être fonction continue de tous ces paramètres. Ajoutons que cette dernière condition sera remplie, si ces variations sont telles, que l'expression (30) reste fonction continue de a, b, e, 0.

Dans le cas particulier où les coefficients /, 7», n se réduisent à l'unité, l'équation (28) se réduit à

3 4 7 Lee) 2 D RAR 7 ART Rate cour De

et les divers ellipsoides que représente cette équation pour diverses valeurs de 0 sont des ellipsoides komofocaux, c’est-à-dire que leurs sections principales sont des ellipses qui offrent toujours les mêmes foyers. Alors aussi l’équation (22) se réduit à >

(34) (D2+D;+Di)1(x,7,5) <=,

et l'équation (32) à

D'ailleurs on satisfait à l'équation (34) en prenant, par exemple, (36) f(x 7,3) > ou même, plus généralement, (37) f(x, 7» 5)= =

« désignant la distance du point mobile (x, y, z) à un point fixe (x, y,2), en sorte qu'on ait

(38) ES Co © ie 2 6 net © ie où Cou 2 1 Cela posé, le théorème IIT et son deuxième corollaire entraineront généralement la proposition suivante :

TaéorÈMe IV. — Soi x la distance d'un point fixe À à un point mobile P, et nommons O le centre d'un ellipsoide qui ne renferme pas * : 1 I le point P. La moyenne entre les diverses valeurs de — correspondantes

aux divers points situés dans l’intérieur de l’ellipsoide ne sera point aliérée, si à celui-ci on substitue l'un quelconque des ellipsoides homofocaux qui ne renferment pas le point P, ou même l’ellipsoide homofocal dont la surface passe par ce point.

EXTRAIT No 443. 169

Le théorème IV est celui à l’aide duquel on détermine l'attraction exercée par un ellipsoide sur un point extérieur. Ajoutons que, si la distance OP, représentée par Le radical