C. R., T. XXIX, p. 376 (8 octobre

Maclaurin a reconnu qu'une masse fluide, animée d’un mouvement de rotation uniforme, et composée de molécules qui s’attirent mutuellement en raison inverse du carré de la distance, peut satisfaire aux conditions d'équilibre, lorsque sa surface extérieure est celle d’un ellipsoide de révolution, pourvu que la vitesse angulaire ne dépasse pas une certaine limite. À la limite dont il s’agit, répond un seul ellipsoide. A une valeur plus petite de la vitesse angulaire correspondent deux ellipsoides, dont l’un se réduit sensiblement à une

OEuvres de C.—S,1,t.XI. 22

sphère quand la vitesse angulaire est très petite. Laplace à d’ailleurs prouvé que celui-ci est la seule figure d'équilibre qu’on puisse obtenir quand on suppose la vitesse angulaire très petite et la forme du fluide peu différente de la sphère. Quant à l’autre ellipsoide de Maclaurin, il offre généralement un aplatissement considérable, surtout quand la vitesse angulaire est sensiblement nulle. L

Il semblerait naturel d'admettre qu’une masse fluide homogène, douée d’un mouvement de rotation uniforme, doit, dans le cas d’équilibre, offrir toujours pour surface extérieure une surface de révolution. Mais, dans ces derniers temps, M. Jacobi a démontré qu'une telle masse peut se présenter aussi sous la forme d’un ellipsoide à trois axes inégaux. Cette proposition nouvelle et remarquable ayant fixé l'attention des géomètres, on a étudié les relations qui existent entre la vitesse angulaire et les trois axes de l’ellipsoide, ou plutôt les rapports de ces mêmes axes. M. Meyer a fait voir que, pour des valeurs de la vitesse angulaire suffisamment petites, l'ellipsoide de M. Jacobi subsiste avec les deux ellipsoides de Maclaurin. La vitesse angulaire venant à croitre, il arrive un moment où l’ellipsoide de M. Jacobi se confond avec l’un des deux ellipsoides de Maclaurin, et ceux-ci finissent par disparaître après être devenus égaux entre eux, quand la vitesse angulaire atteint la limite dont nous avons précédemment parlé.

On peut d’ailleurs, au lieu de faire croître la vitesse angulaire, faire croître le moment de rotation, c’est-à-dire le produit de la vitesse angulaire par le moment d'inertie relatif à l'axe de rotation ; et alors on arrive, quand on se borne à considérer les ellipsoides de Maclaurin, aux propositions établies par Laplace dans le Tome II de la Mécanique céleste et, quand on considère en outre l’ellipsoide de M. Jacobi, aux résultats donnés par M. Liouville dans un Mémoire que renferme la Connaissance des Temps pour l’année 1849.

Dans les travaux que nous venons de rappeler, la masse fluide, douée d’un mouvement de rotation uniforme, était supposée uniquement soumise aux actions mutuelles de ses molécules. 11 impor-

EXTRAIT No 443. 171

tait de voir si la forme d’un ellipsoide pouvait convenir encore à une telle masse, dans le cas où elle était de plus attirée par un point extérieur très éloigné, doué de la même vitesse angulaire, et tournant dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Laplace, qui s'était occupé de ce dernier problème, ne l’avait résolu que dans un cas très particulier, savoir, quand la masse fluide est sensiblement sphérique et d’ailleurs très petite relativement à la masse du point extérieur. M. Roche à recherché une solution générale de la même question, et 1l a eu le bonheur de réussir. Nous avons vérifié les calculs qui l'ont conduit aux équations fondamentales du problème, et nous avons trouvé ces équations parfaitement exactes. Il est hors de doute, comme le dit M. Roche, que, dans le cas général, la solution est fournie par des ellipsoides dont les axes sont inégaux, le plus petit axe de chaque ellipsoide étant l'axe de révolution.

M. Roche ne s’est pas borné à établir les formules fondamentales : il a encore discuté ces formules, il en a fait des applications diverses, et, sur notre demande, il a joint au Mémoire primitif des développements nouveaux. Ces développements, que nous déposons sur le bureau de l’Académie, et la discussion des formules fondamentales nous paraissent offrir assez d'intérêt pour demander un examen spéclal qui pourra fournir la matière d’un nouveau Rapport. Mais cet examen, relatif en partie à des pièces qui ne nous avaient point été soumises, pouvait entrainer, dans la présentation du Rapport, des retards que nous aurions regrettés, et n’était d’ailleurs nullement nécessaire pour fixer notre opinion sur un travail dont le mérite est incontestable à nos yeux.

En résumé, les Commissaires sont d'avis que M. Roche a résolu avec sagacité une question importante, et que son Mémoire est très digne d’être approuvé par l’Académie.

CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur les intégrales continues et les integrales discontinues des équations différentielles ou aux dérivées par-

telles.