C. R., T. XXIX, p. 548 (19 novembre

Les intégrales d’un système d'équations différentielles ou aux dérivées partielles peuvent fournir pour valeurs générales des inconnues ou des fonctions continues, ou des fonctions discontinues des variables indépendantes. En d’autres termes, ces intégrales peuvent être ou continues ou discontinues. Il importe de ne pas confondre entre elles ces deux espèces d’intégrales, et de rechercher celles qui fournissent la solution de problèmes de Mécanique ou de Physique. Tel sera l’objet de ce nouveau Mémoire.

Considérons d’abord une ou plusieurs équations différentielles, dans lesquelles le temps soit pris pour variable indépendante. On pourra, en augmentant, s’il est nécessaire, le nombre des inconnues, réduire ces équations au premier ordre. Cette réduction étant opérée, pour que l’on puisse déterminer complètement les valeurs générales des inconnues, il sera nécessaire de connaître leurs valeurs initiales. I y a plus : cette connaissance ne sera suffisante que pour la détermination des intégrales continues, s’il est possible d'obtenir de telles intégrales. Elle deviendra généralement insuffisante, s’il n’est plus possible d'obtenir des intégrales continues, ou si l’on suppose que les valeurs générales des inconnues puissent être des fonctions discontinues du temps. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Concevons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'intégrer la plus simple de toutes les équations différentielles, savoir celle qu'on obtient en égalant à zéro la dérivée d’une inconnue dont la valeur initiale est donnée. Cette équation offrira une seule intégrale continue, qu'on obtiendra en égalant la valeur générale de l’inconnue à

sa valeur initiale. Mais, si l’on suppose que l'intégrale puisse devenir

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discontinue, la valeur générale de l'inconnue pourra être une fonction du temps qui varie par sauts brusques à diverses époques, en se réduisant à une constante entre deux époques consécutives. Donc l'équation différentielle dont il s’agit offrira, non seulement une intégrale continue, mais encore une infinité d’intégrales discontinues.

Concevons maintenant qu'il s'agisse d'intégrer l'équation différentielle qu’on obtient quand on égale la dérivée de l’inconnue à une fonction donnée du temps. Si le temps varie entre des limites telles que cette fonction ne puisse acquérir des valeurs infinies ou indéterminées, l'équation proposée offrira, comme dans le cas précédent, une seule intégrale continue et une infinité d’intégrales discontinues, dont l’une quelconque sera la somme qu’on obtiendra en ajoutant à l'intégrale continue l’une des fonctions discontinues dont la dérivée s'évanouit. Mais, si la fonction donnée devient, à une certaine époque, ou infinie ou indéterminée, l'intégrale finie elle-même pourra se transformer alors en une intégrale discontinue.

Ces diverses conclusions sont précisément celles auxquelles je suis parvenu dans les leçons que j'ai données, à l'École Polytechnique, sur le Calcul infinitésimal (voir le résumé de ces leçons, publié en 1823, pe 109) (°).

Généralement, étant donné un système d'équations différentielles du premier ordre entre le temps £ pris pour variable indépendante, et diverses inconnues, si les dérivées de ces inconnues sont, en vertu de ces équations différentielles, représentées par des fonctions qui demeurent continues par rapport aux diverses variables, du moins entre certaines limites, on obtiendra, du moins jusqu’à une certaine époque déterminée par les limites dont il s’agit, un système unique

d'intégrales continues, avec une infinité d’intégrales discontinues: mais, lorsqu'on dépassera cette époque, le système des intégrales continues pourra se transformer en un système d’intégrales discontinues.

(1) Œuvres de Cauchy, S. WU, T. IV.

Les observations que nous venons de faire sont évidemment applicables, non seulement à un système d'équations différentielles, mais encore à un système d'équations aux dérivées partielles qui renfermeraient, avec le temps et une ou plusieurs autres variables indépendantes, des inconnues dont on donnerait les valeurs initiales. Pour des équations de cette nature, on obtiendrait généralement un système unique d’intégrales qui demeureraient continues, au moins Jusqu'à une certaine époque, et une infinité de systèmes d’intégrales discontinues. Ajoutons que le système unique d’intégrales continues pourra se transformer lui-même en un système d’intégrales discontinues, si les valeurs initiales des inconnues sont représentées par des fonctions discontinues des variables dont ces valeurs dépendent. Cherchons maintenant quelles sont, parmi les intégrales continues ou discontinues d’un système d'équations différentielles ou aux dérivées partielles, celles qu'il convient d'employer dans le cas où ces équations correspondent à un problème de Mécanique ou de Physique, dans le cas, par exemple, où elles représentent les mouvements finis ou infiniment petits d’un nombre déterminé ou indéterminé de points matériels. Considérons d’abord ?2 points matériels sollicités par des forces

données. Le mouvement de ces points sera représenté par 32 équations différentielles du second ordre, ou, ce qui revient au même, par 6n équations différentielles du premier ordre, qui serviront à déterminer en fonction du temps 6x inconnues, savoir les coordonnées de ces points et les vitesses avec lesquelles varieront ces coordonnées. De plus, si le mouvement commence avec le temps, l'état initial du système fournira, pour une valeur nulle du temps, les valeurs correspondantes de toutes les inconnues. Or il est bien vrai que, ces valeurs étant données, les 6x équations différentielles, considérées sous un point de vue purement analytique, et abstraction faite du problème de Mécanique auquel elles se rapportent, admettront, non seulement un système unique d’intégrales qui demeureront continues au moins jusqu'à une certaine époque, mais encore une infinité de systèmes

d'intégrales discontinues. Toutefois, il est clair que, parmi ces divers systèmes, un seul pourra résoudre le problème de Mécanique proposé. J'ajoute que ce système unique sera précisément le système des intégrales continues. C’est, en effet, ce que l’on peut démontrer de la manière suivante.

Les mouvements que nous observons dans la nature sont des mouvements continus, en vertu desquels un point matériel ne passe jamais brusquement d’une position à une autre sans passer par une série de positions intermédiaires. Il y a plus : les variations que l’on observe dans les vitesses étant produites par l’action continue des forces appliquées aux points mobiles, les vitesses elles-mêmes varient toujours avec le temps par degrés insensibles, et ne passent jamais d’une valeur donnée ou d’une direction donnée à une autre que d’une manière continue. Si, dans certaines circonstances, par exemple quand les corps se choquent, il semble quelquefois qu’il y a un changement brusque de vitesse, cela tient uniquement à ce que le temps pendant lequel la vitesse passe d’une valeur à une autre, après avoir successivement acquis toutes les valeurs intermédiaires, nous échappe en raison de sa petitesse. Donc, en définitive, les coordonnées des points mobiles et les vitesses de ces points, mesurées dans des directions quelconques, devront toujours être des fonctions continues du temps. Donc, lorsqu'on intégrera les équations différentielles qui représenteront le mouvement d’un nombre déterminé de points matériels, les seules intégrales qui résoudront le problème de Mécanique proposé seront les intégrales continues qui satisferont aux conditions initiales, c’est-à-dire celles qui reproduiront au premier instant les valeurs initiales données des diverses inconnues.

Si l’on considère, non plus un nombre fini et déterminé de points matériels, mais un corps solide ou fluide dans lequel le nombre de ces points devienne indéfini, alors, pour représenter leurs mouvements, on obtiendra, non plus un système d'équations différentielles, mais un système d'équations aux dérivées partielles, dans lesquelles les variables indépendantes pourront être le temps et les coordonnées

rectilignes ou non rectilignes d’un point quelconque, par exemple les coordonnées mesurées sur trois axes rectangulaires. Ajoutons que l’on pourra prendre pour inconnues les déplacements d’un point matériel, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, et les vitesses du point projeté sur ces mêmes axes. Enfin, pour être en état de déterminer les valeurs générales de ces inconnues, il sera nécessaire de connaître leurs valeurs initiales. D'ailleurs, ces valeurs initiales pourront être des fonctions continues ou discontinues des coordonnées. Dans le premier cas, on pourrait généralement satisfaire aux équations données par un système d’intégrales continues qui fourniraient, pour les raisons ci-dessus énoncées, l'unique solution du problème de Mécanique auquel se rapporteraient ces équations. Mais il importe d'observer, d’une part, que les corps solides ou fluides, loin de pouvoir être considérés comme étant des masses continues et indéfinies, sont, au contraire, des assemblages de molécules, limités dans tous les sens; d’autre part, qu’au premier instant, et dans le corps donné, les déplacements et les vitesses des molécules supposées réduites à des points matériels, pourront demeurer sensibles entre certaines limites, et passer brusquement, quand on franchira ces limites, d’une valeur sensible à une valeur nulle. Done, dans le cas général, les valeurs initiales des inconnues devront être supposées fonctions discontinues des coordonnées. Cette hypothèse étant admise, les intégrales déduites des équations proposées et des conditions initiales pourront elles-mêmes devenir toutes discontinues; et c'est précisément ce qui arrivera si les équations données sont homogènes. Il reste à savoir comment, parmi ces intégrales toutes discontinues, on pourra distinguer celles qui résoudront la question de Mécanique proposée. On y parviendra en s'appuyant sur la remarque suivante :

Une fonction discontinue de plusieurs variables indépendantes peut toujours être considérée comme représentant la valeur particulière que prend, pour une valeur nulle d’une variable auxiliaire, une fonction plus générale, mais continue, qui renferme cette variable auxi-

hiaire avec toutes les autres.

En partant de cette remarque, on déterminera aisément les intégrales discontinues qui résoudront un problème de Mécanique dont la solution exigera l'intégration de certaines équations aux dérivées partielles jointes à certaines conditions initiales. I suffira de rechercher parmi les valeurs initiales des inconnues celles qui seront représentées par des fonctions discontinues, de considérer ces fonctions comme les valeurs particulières que prennent, pour une valeur nulle d'une variable auxiliaire, d’autres fonctions plus générales, mais continues, puis de résoudre le problème en substituant ces dernières fonctions aux premières, et de réduire, dans la solution trouvée, la variable auxiliaire à zéro.

Observons, d’ailleurs, que l’on simplifiera les formules fournies par l'intégration, en y introduisant les coefficients que j'ai nommés /imitateurs, et dont chacun, dépendant d’une seule quantité variable, se réduit, suivant qu’elle est positive ou négative, à zéro ou à l’unité.

ANALYSE

SI. — /ntégrales continues et discontinues des équations différentielles. Considérons d’abord l’équation différentielle (1) D,s=—o,

et soit c la valeur de s qui correspond à une valeur nulle du temps #. L'équation (1) admettra une seule intégrale continue, savoir

un Le sr

SEC, et une infinité d’intégrales discontinues comprises dans la formule

&(4) étant une fonction de #, qui change brusquement de valeur à diverses époques, en se réduisant à une constante entre deux époques consécutives. | Soit maintenant |, un coefficient mitateur qui se réduise à zéro ou OEuvres de C. — S.1, t. XI. 23

à l’unité, suivant que la variable # est négative ou positive, ce qui aura

lieu, par exemple, si l’on prend

| I [A ! | Pme — |.

(4) ra)

Si, en admettant que les quantités

0, bi, La, BA : lai

forment une suite croissante, on veut que la fonction 5 (4) se réduise

à ce entre les limites dut Fra à ce, entre les limites tt, Ce se LS URSS SAS NI NO SRE ? ONE à C1 pour En PENPA

il suffira de prendre

(5) D(t)—=c+(c—c)li, +(Co—c)l +... + (Cn-— Cnil

Considérons à présent l'équation différentielle (6) Des —f(£),

f(£) étant une fonction qui demeure continue, du moins tant que le temps { ne dépasse pas une certaine limite; et soit toujours c la valeur de s correspondante à ? — 0. Pour une valeur de inférieure à la limite dont il s’agit, l'équation (6) offrira une seule intégrale

continue, savoir

ne Dee

S—=C—+ [ f(c) dt, en et une infinité d'intégrales discontinues, comprises dans la formule t (8) s=w()+ f fo

la valeur de &(4) étant de la nature de celle que détermine l’équa-

tion (5).

Si la valeur attribuée à / est supérieure à celle pour laquelle la

EXTRAIT N° 444. 179 fonction f(2) cesse d'être continue, l'intégrale (5) pourra devenir elle-même discontinue. C'est ce qui aura lieu, par exemple, si l’on prend