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i— 4 et si d'ailleurs on suppose 4> 1.

Généralement, étant donné un système d'équations différentielles du premier ordre avec les valeurs initiales des inconnues, on pourra obtenir pour ces équations des intégrales continues ou discontinues. Mais, comme on l’a précédemment expliqué, les intégrales continues seront les seules qu'il conviendra d'employer, quand il s'agira de

résoudre un problème de Mécanique ou de Physique. S Il. — /ntégrales continues et discontinues des équations aux dérivées partielles.

Considérons d’abord l'équation aux dérivées partielles (1) D's=H

Q étant une quantité positive, et supposons linconnue s assujettie à vérifier, pour une valeur nulle du temps 4, la condition initiale

(2) Fa gr).

Si s(æ) est une fonction continue de la variable indépendante x, l'équation (1), jointe à l'équation (2), admettra une seule intégrale

continue, savoir

(3) s—o(æx + Qt),

et une infinité d'intégrales discontinues. Si, au contraire, la fonction (x) devient discontinue, si l’on suppose, par exemple,

(4) o(æ)=lef(x),

f(æ) étant une fonction de æ toujours continue, et 1, un coeflicient limitateur qui se réduise à zéro ou à l'unité, suivant que la variable x

est négative où positive, alors non seulement la condition initiale, réduite à la forme

(2) Ft PE EE 7 À

fournira une valeur discontinue de s, mais l’intégrale (3), réduite à la

forme (6) sl iQ (LTSE RE),

deviendra elle-même discontinue. D'ailleurs on pourra satisfaire à la fois à l'équation (1) et à la condition (5), non seulement par l’intégrale (6), mais encore par une infinité d’autres intégrales discon-

tinues, par exemple en prenant

(7) s=l,f(x + Qt),

T ou bien encore (8) s=lyuf(æ + Qt),

u désignant une fonction de æ et de £ qui s’évanouisse pour { — 0. Au reste, parmi ces intégrales toutes discontinues, celle que fournit l'équation (6) jouira seule d’une propriété remarquable que nous allons indiquer.

La valeur discontinue de 2(x), que fournit l'équation (4), peut être considérée comme la valeur particulière que reçoit une fonction continue de æ et d’une variable auxiliaire &, quand on pose : — 0, par

exemple, comme la valeur particulière que recoit le produit

HT), quand, après avoir posé

I æ Le ZT — Len irrs — u (9) 2 ( Ut + =)

ou bien encore