RUE

on fait évanouir t. Il en résulte que l'intégrale (6), qui devient dis-

continue, quand on suppose, dans les formules (0) ou (ro); rs 0, s6 trouve comprise, comme cas particulier, dans une intégrale continue, mais plus générale, qui satisfait à la fois à l'équation (1) et à la condition (5).

En général, lorsque des fonctions inconnues du temps et d’une ou de plusieurs autres variables indépendantes seront déterminées par des équations aux dérivées partielles jointes à un nombre suffisant de conditions initiales, on pourra, si ces conditions ne renferment point de fonctions discontinues, obtenir un système unique d’intégrales continues et une infinité de systèmes d’intégrales discontinues. Si, au contraire, les conditions initiales renferment des fonctions discontinues, on n’obtiendra plus que des systèmes d’intégrales discontinues; mais, parmi ces systèmes, se trouvera du moins un système unique d'intégrales discontinues comprises, comme cas particulier, dans des intégrales continues, desquelles on les déduira en réduisant à zéro une certaine variable auxiliaire. D'ailleurs le système unique dont il s’agit sera précisément celui qui devra être employé, lorsque les équations ou les conditions données se rapporteront à un problème de Mécanique ou de Physique.

Les principes exposés dans ce Mémoire font disparaitre les contradictions apparentes des résultats que fournit l'application de diverses méthodes à l'intégration des équations aux dérivées partielles dans les questions de Physique mathématique. C’est ce que nous expliquerons dans de nouveaux articles, où nous appliquerons les mêmes principes à la détermination des lois qui régissent la propagation, la réflexion et la réfraction des mouvements vibratoires dans les corps considérés comme des systèmes de molécules ou de points matériels.

Nous nous bornerons pour l'instant à remarquer que, si, en supposant la fonction 2(æx) continue, on développe le second membre de la formule (3) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de £, on obtiendra, pour déterminer s, l'équation

(11) s=p(&) + Deo(z) + PE DE g(æ) +.

Si, au contraire, on suppose la fonction (x) discontinue et déter- ; minée par l'équation (4), f(x) étant une fonction continue de x, le second membre de l'équation (3) ou (6) cessera, en même temps que la fonction 1,,0,, d’être développable en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de £. Néanmoins, tant que la série comprise dans le second membre de la formule (11) sera convergente, la fonction de s que présente cette formule continuera de satisfaire pour une valeur quelconque de 4 à l'équation (1), et pour { —o à la condition (2). Mais, comme dans le voisinage de toute valeur, ou positive

ou négative, de æ, on tirera de l'équation (4) B'ofr);s LRETFOES Dro(r)}=LMeir) ÈS

la formule (11) pourra être réduite à

Oo (12) CL 7 LC) D, f(x) + < D? f(x) +... |.

Par conséquent, dans l'hypothèse admise, la formule (11) ou (12) fournira le développement en série de la valeur de s déterminée, non plus par l'équation (3) ou (6) analogue à celles qui servent à résoudre les problèmes de Mécanique, mais par l'équation (5).

Si, dans la même hypothèse, on voulait obtenir le développement en série de la valeur de s fournie par l'équation (6), il faudrait se borner à développer le facteur f(x + Q4), et ainsi, à la place de la

formule (12), on obtiendrait la suivante :

2 2 (13) CE Len] Ce) + be f(x) + FU f(æ) +... À:

Des remarques semblables s'appliquent aux intégrales en série et aux intégrales en termes finis de l'équation qui représente le mouvement du son dans l'air ou dans un corps solide. Elles donnent l’explication des contradictions apparentes entre les résultats auxquels semblent conduire ces deux espèces d’intégrales, et montrent non

seulement comment il arrive que l'intégrale en série semble contre-

EXTRAIT N° 4h5. 183 dire le phénomène de la propagation du son, indiqué par l'intégrale en termes finis, mais aussi comment l'intégrale en série doit être modifiée pour devenir propre à représenter les vibrations sonores d'un système donné de points matériels.

CALCUL INTÉGRAL. — Application des principes établis dans la séance précedente à la recherche des intégrales qui représentent les mouvements infiniment petits des COTPS homogènes, el spécialement les mouvements

par ondes planes.