C. R., T. XXIX, p. 606 (26 novembre

Comme je lai remarqué dans de précédents Mémoires, les mouvements intérieurs des corps considérés comme des systèmes de molécules se trouvent représentés par des équations qui renferment avec les inconnues, et leurs dérivées relatives au temps, leurs différences finies prises par rapport aux coordonnées initiales. Ces équations deviendront linéaires, si les mouvements deviennent infiniment petits, et se transformeront en équations aux dérivées partielles, si les différences finies des inconnues peuvent être développées, à l’aide du théorème de Taylor, en séries convergentes. Enfin, si, un corps étant homogène, ses molécules sont sapposées réduites à des points matériels, les équations trouvées seront non seulement linéaires et aux dérivées partielles, mais encore à coefficients constants.

D'autre part, en suivant la méthode indiquée dans mes Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, on pourra réduire l'intégration des équations dont il s’agit à l'intégration de ta seule équation caractéristique, où même à l'évaluation de la seule fonction que j'ai désignée sous le nom de fonction principale. H y à plus : les intégrales fournies par cette méthode, étant continues lorsque les valeurs ini-

tiales des inconnues sont des fonctions continues des coordonnées, fourniront toujours la solution véritable du problème de Mécanique ou de Physique auquel se rapporteront les équations données. Enfin, la fonction principale pouvant être considérée comme formée par l'addition d’un nombre fini ou infini de termes proportionnels à des exponentielles dont chacune offrira pour exposant une fonction linéaire des variables indépendantes, tout mouvement vibratoire infiniment petit d'un corps homogène pourra être censé résulter de la superposition d’un nombre fini ou infini de mouvements partiels du nombre de ceux que j'ai appelés mouvements simples.

Parmi les intégrales auxquelles on arrive en opérant comme on vient de le dire, on doit remarquer celles qu'on obtient quand les valeurs initiales des inconnues dépendent seulement de la distance d'un point matériel à un plan fixe. Alors la valeur générale de chaque inconnue se trouve exprimée par une fonction de cette distance et du temps. Donc les divers points matériels que renfermait au premier instant un plan quelconque parallèle au plan donné offrent des vibrations semblables, en vertu desquelles Le plan qui les contient oscille, sans cesser d’être parallèle au plan fixe et de manière à entrainer dans son mouvement ces mêmes points. Donc alors le mouvement vibratoire du système donné de points matériels est ce qu’on peut appeler un mouvement par ondes planes. Alors aussi les équations données peuvent être remplacées par des équations linéaires aux dérivées parelles qui ne renferment plus que deux variables indépendantes.

Le cas où les équations linéaires données peuvent être réduites, sans erreur sensible, à des équations homogènes, mérite une attention spéciale. Dans ce cas, si les fonctions que renferment les conditions initiales deviennent discontinues, les intégrales trouvées seront elles-mêmes discontinues; et si, d’ailleurs, les mouvements s’exécutent par ondes planes, ces ondes seront déterminées par des plans généralement mobiles, dont chacun, au bout du temps #, séparera les points mis en vibration de points laissés ou rendus au repos. Ajoutons que ces ondes planes, mais limitées, pourront être aisément

représentées dans le calcul à l'aide des coefficients désignés sous le nom de mitateurs.

Ce n’est pas tout : si deux corps homogènes sont séparés par une surface plane, un mouvement vibratoire pourra se transmettre de l’un à l’autre, et, pour obtenir les lois de transmission, il faudra joindre aux équations données les formules que fourniront les principes établis dans mon Mémoire sur les conditions relatives aux limites des corps. S'il s’agit en particulier de vibrations lumineuses, alors, pour arriver à déduire du calcul les phénomènes de réflexion et de réfraction, on devra recourir au principe de la continuité du mouvement dans l'éther. Supposons, pour fixer les idées, qu’un rayon de lumière vienne à tomber sur une surface plane qui sépare l’un de l’autre deux milieux homogènes. Supposons encore que le rayon incident soit un rayon simple, mais tronqué, dans lequel les molécules vibrantes constituent une onde plane terminée par des plans parallèles. A l'onde incidente correspondront des ondes réfléchies et des ondes réfractées, représentées par les différents termes que renfermeront les intégrales des équations données, et ces diverses ondes seront terminées, soit en avant, soit en arrière, par des plans dont les traces sur la surface de séparation seront les mêmes. Ajoutons que les ondes réfléchies ou réfractées seront de deux espèces, et que parmi les rayons correspondants à ces ondes on devra comprendre les rayons évanescents, c'està-dire ceux dans lesquels les vibrations sont sensiblement nulles à des distances sensibles de la surface réfléchissante ou réfringente.

Dans les formules obtenues comme on vient de le dire, il suflira de jeter les yeux sur les coefficients limitateurs pour reconnaître quelles sont les limites des diverses ondes et leurs vitesses de propagation. S'agit-il, par exemple, des ondes qui constituent les rayons évanescents, on remarquera que les limitateurs relatifs à ces rayons peuvent être réduits aux valeurs particulières qu’acquièrent les limitateurs des ondes incidentes, pour les points situés sur la surface de séparation des milieux donnés. On en conclura que les ondes correspondantes aux rayons évanescents sont terminées par des plans perpendiculaires

OEuvres de C.— S. I, t. XI. 24

à cette surface, et se propagent dans le sens indiqué par une droite perpendiculaire à ces plans, avec la même vitesse que les ondes ineidentes.

Quant aux lois de polarisation, elles seront précisément celles que. j'ai indiquées dans mes précédents Mémoires, et dont l'exactitude se trouve confirmée par les belles expériences de M. Jamin. Les formules que fournissent ces lois déterminent en même temps la direction des vibrations de l’éther dans la lumière polarisée. Elles vérifient l’assertion de Fresnel. Comme je l’ai déjà dit en 1836, cet illustre physicien à eu raison d'affirmer, non seulement que les vibrations des molécules éthérées sont généralement comprises dans les plans des ondes, mais encore qu'elles s’exécutent dans des plans perpendicu-

laires à ceux que l’on nomme plans de polarisation.

ANALYSE

S 1. — Sur les coefficients limitateurs.

Les coefficients que nous avons nommés mitateurs fournissent un moyen très simple de représenter dans le caleul des fonctions discontinues qui se réduisent entre certaines limites. à des fonctions continues données, et s’'évanouissent hors de ces limites.

Ainsi, par exemple, 1, désignant un limitateur qui se réduit à zéro ou à l’unité suivant que la variable indépendante £ est négative ou positive, pour obtenir une fonction discontinue 9(4) qui se réduise à une fonction donnée f(4) entre les limites = a, t—b> a, et s'évanouisse toujours hors de ces limites, il suffira de prendre

(1) p(e)—= la lee ((6)

ou, ce qui revient au mêmeé, il suffira de prendre (2) p(E)=Lf(E),

le limitateur {, étant déterminé par la formule

(3) h— oa lose

Pareillement, si l’on veut obtenir une fonction discontinue o(x, y) de deux coordonnées rectangulaires æ, y, qui se réduise à une fonction continue donnée f(x, y), pour tous les points situés à l’intérieur du rectangle compris entre les quatre droites représentées par les équations

= Ts ie Lys 4 =, à mi LT et s'évanouisse pour tous les points extérieurs à ce rectangle; si d’ailleurs on suppose æ, > +, et y,>7,, il suflira de prendre

(4) (LT) = le vriT T), le limitateur {,,, étant déterminé par la formule (5) Lyshislseshen by:

En général, si, désignant par æ, y, 3, ... diverses variables indépendantes, on représente par 1,,.. un limitateur qui se réduise à l'unité ou à zéro suivant que les variables æ, y, 3, ... sont ou ne sont pas comprises entre certaines limites, alors, pour obtenir une fonction discontinue o(æ, y, 3, ...) qui se réduise à une fonction donnée f(æ, y,3,...) entre les limites dont il s’agit, et s'évanouisse hors de ces limites, il suffira de prendre

(6) ri Jens (y: ...).

D'ailleurs le limitateur {, ,... pourra toujours être considéré comme le produit de plusieurs autres limitateurs analogues à celui que nous avons représenté par {,. Supposons, pour fixer les idées, que, æ, y, = désignant trois coordonnées rectangulaires, la fonction o(x,7,3) doive s’évanouir, pour tous les points non renfermés entre deux surfaces représentées par les deux équations

u étant une fonction donnée de æ, y, z, et u,, u, deux quantités constantes, dont la seconde surpasse la première. Alors on pourra supposer, dans l'équation (6),

(7) F Lys This lus

Quand on applique l'Analyse à la Mécanique ou à la Physique, les conditions initiales introduisent ordinairement dans le calcul des limitateurs. Ajoutons que les variables réelles dont ces limitateurs dépendent au premier instant se trouvent souvent remplacées, au bout d’un temps quelconque #, par des expressions imaginaires. Il importe de savoir quelles sont les valeurs acquises dans ce cas par les limitateurs. On y parvient en décomposant un limitateur quelconque en facteurs de la forme I, ou 1,, et en ayant d’ailleurs égard à l'observation suivante.

Comme on dit à la page 180, le limitateur 1,, qui se réduit à zéro ou à l'unité, suivant que la valeur de +, supposée réelle, est négative ou positive, peut être considéré comme la valeur particulière que reçoit une fonction continue de æ et d’une variable auxiliaire 1, quand

on pose : — o. Cette fonction continue pourra être, par exemple, «e) ET 1+e !

: désignant un nombre infiniment petit. Or, si dans le facteur (8) on pose æ—=a+6i,

«, 6 étant deux quantités réelles, on verra l’exponentielle

converger, pour des valeurs décroissantes du nombre :,; vers une limite nulle ou infinie, suivant que « sera positif ou négatif, et l’on

en conclura (9) la+6i = lue

Ainsi, lorsque la variable æ est en partie imaginaire, on peut, dans le limitateur 1,, réduire cette variable à sa partie réelle. On arriverait

encore aux mêmes conclusions si, à l'expression (8), on substituait

EXTRAIT No 445. 189

une autre fonction de æ et de , qui eüt encore la propriété de se réduire à 1, pour : = 0, par exemple l'expression

Ll T Pr I + — .

À vs)

SIL. — Sur une certaine classe d’intégrales particulières des équations linéaires

aux dérivées partielles et à coefficients constants.

Considérons un système d’équations linéaires aux dérivées partielles et à coellicients constants. Supposons d’ailleurs, pour fixer les idées, que, dans cesséquations, les variables indépendantes soient le temps £ ettrois coordonnées rectangulaires x, y, 3. Parmi les intégrales particulières qui vérifieront ces équations, on devra distinguer celles qu’on obtiendra en supposant que les valeurs initiales des inconnues dépendent uniquement de la distance du point (æ,y,z) à un plan fixe. Soient x, 6, y les cosinus des angles formés par une perpendiculaire à ce plan avec les demi-axes des coordonnées positives, et

prenons (1) t= ax +6y+7yz.

Supposons, d’ailleurs, que les intégrales cherchées doivent être con- {inues ou du moins comprises, comme cas particulier, dans des intégrales continues, et, par conséquent, de la nature de celles qui résolvent les questions de Mécanique ou de Physique. Dans cette hypothèse, les inconnues, offrant des valeurs initiales qui dépendront de la seule variable +, dépendront, au bout du temps 4, des seules variables «, £; et, pour réduire les équations proposées à ne plus renfermer que ces deux variables, il suffira d'y substituer à D,, D,, D, leurs valeurs tirées des formules symboliques

(2) Di ak; D;—=6b,;; D= Yi.

Si les équations proposées correspondent aux mouvements vibra-

toires infiniment pétits d’un système de points matériels, les intégrales particulières dont nous venons de parler représenteront ce

qu'on peut appeler des mouvements par ondes planes. Si, de plus, les équations proposées sont homogènes, chaque onde plane pourra être limitée, en avant et en arrière, par des plans mobiles parallèles au plan fixe que représente l'équation

(3) ax +6y+ys—0o ou t== 0.

Concevons, pour fixer les idées, que les équations données se réduisent à celle qu'on nomme l'équation du son, c’est-à-dire à la formule

Q étant une quantité positive et constante. Si les valeurs initiales de l'inconnue 2 et de sa dérivée D,2 dépendent uniquement de la distance du point (æ,y,z) au plan fixe représenté par l'équation (3), ou, en d’autres termes, de la variable +, en sorte qu'on ait, pour £ = 0,

(5) 8—çp(r), Dis —®(r),

la valeur générale de 3 dépendra des seules variables +, t; et, comme

on tirera de l’équation (4), jointe aux formules (2), (6) D?#— @D?3,

on trouvera définitivement

,— PH) + p(e— 0) F He nd Cas )

Si les valeurs initiales de 2 et D,2, savoir o(x) et ®(+), se réduisent aux valeurs correspondantes de deux fonctions continues données f(x) et F(«), entre les limites

(8) ta “ :=0 Sa,

et s’évanouissent hors de ces mêmes limites, on aura

(9) pér)=Lf(:), BC) =LE(L),

la valeur du limitateur L étant déterminée par la formule

(10) = hs

Alors aussi l'équation (7) donnera

NE L,0c: f(e + Qt) + FA à € f(x ns Qc)

Deer Roreon

———— "<<" dr.

Des deux termes que renferme le second membre de la formule (10), le premier s'évanouira, et le dernier, réduit à une quantité constante, deviendra indépendant des variables +, {, quand les limites a, b ne comprendront pas entre elles la somme «+ Q4, ou la différence + — Q4. Donc la valeur de #, déterminée par le système des équations (10) et (11), ne sera variable avec + et {, que dans l'épaisseur de l’onde plane terminée par les plans mobiles correspondants aux deux équations

(12) t—=a— Qc, rt — b — (4,

ou bien encore de l'onde plane terminée par ceux que représentent les formules

(13) t— a + QE, te — b + (4.

Ajoutons que ces deux ondes, avec les plans qui les terminent et qui sont parallèles au plan fixe représenté par l'équation (3), se mouvront en sens inverses avec des vitesses de propagation représentées par la quantité positive Q.

Si à l'équation (4) on substituait la suivante

(14) D}3 + S?(D£+ Di+ D?)8 —0, l'équation (6) deviendrait (19) Dis + Ds — 0,

et l'on devrait, dans la formule (11), remplacer Q par Qr. Mais, comme on aurait [vor la formule (9) du SI]

(16) kioa=k,

et, par suite, eu égard à l’équation (10), (17) ÉrOnmE,

la valeur de 2 serait réduite à

4 {fe + 9) +f(r — Qt) à “e F(:+Qr)+F(:—Qr) de

Cela posé, la valeur de # s’évanouirait toujours en dehors de l’onde terminée par les plans fixes que représentent les équations (8), et, cette onde étant immobile, sa vitesse de propagation serait réduite à Zéro.

En général, étant donné un système d’équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants entre diverses inconnues, le temps £ et les coordonnées rectangulaires æ, y, z, si l’on élimine toutes les inconnues à l'exception d’une seule, on se trouvera conduit à une équation caractéristique de la forme