C. R., T. XXIX, p. 641 (3 décembre

Je viens aujourd’hui appeler l'attention des géomètres sur une nouvelle branche de Calcul intégral qui me paraît devoir contribuer aux progrès de la Mécanique moléculaire, et qui a pour objet l'intégration des équations linéaires à coefficients périodiques.

J'appellerai fonction périodique d'une ou dé plusieurs variables indépendantes æ, y, 3, ... celle qui ne sera point altérée quand on fera croître ou décroitre ces variables de quantités représentées par des multiples de certains paramètres a, b, c, ..., en faisant varier x d'un multiple de a, y d’un multiple de b, = d’un multiple de €, ..…. Des équations linéaires à coefficients périodiques ne seront autre chose que des équations linéaires différentielles ou aux dérivées partielles, dans lesquelles les diverses dérivées des inconnues auront pour coefficients des fonctions périodiques des variables æ, y, , ... ou de

OEuvres de C. ue SEUAL 29

variables représentées par des fonctions linéaires de æ, y, 3, .... Enfin, j'appellerai parametres trigonometriques les quotients «, 6, y, qu'on obtiendra en divisant la circonférence 27 par les paramètres donnés a, b, c,

Dans les équations linéaires et à coefficients périodiques auxquelles on se trouve conduit par la Mécanique moléculaire, les coefficients sont, en général, fonctions des coordonnées, mais indépendants du temps z; et alors on peut obtenir des intégrales particulières qui fournissent pour les inconnues des valeurs représentées par des produits dont un seul facteur renferme le temps, ce facteur étant une exponentielle dont l'exposant est proportionnel à #4. Ces intégrales particulières sont ce que nous appellerons des intégrales élémentaires. Lorsque l’exponentielle dont il s’agit sera une exponentielle trigonométrique, les intégrales élémentaires deviendront ésochrones, c'està-dire qu’elles fourniront, pour valeurs des inconnues, des fonctions périodiques du temps.

Les intégrales élémentaires seront généralement imaginaires ou symboliques; mais elles ne cesseront pas, pour cela, d’être applicables à la solution des problèmes de Mécanique ou de Physique. Car, si l’on réduit les valeurs symboliques des inconnues à leurs parties réelles, ces parties réelles satisferont encore aux équations données. |

Une propriété remarquable d’une fonction périodique de æ, y,3,…., c'est qu'elle peut être développée en série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes des exponentielles trigonométriques dont chacune a pour argument le produit d'une variable par le paramètre trigonométrique correspondant. Dans chaque terme de la série, le facteur constant est exprimé par une intégrale définie multiple, les intégrations étant effectuées à partir de zéro jusqu’à des limites représentées par les paramètres a, b, c, .... Le terme constant de la série est la valeur moyenne de la fonction. D'ailleurs, il est important d'observer que, si une fonction périodique «w renferme avec les variables indépendantes æ, y, 3, ... d’autres quantités 2, 4, ..., la valeur moyenne de w, considérée comme fonction

de k, #, ..., pourra changer de forme ou devenir discontinue quand on changera les valeurs de 2, # ("). |

Ces principes étant admis, on peut développer en séries les intégrales élémentaires des équations linéaires à coefficients périodiques, en réduisant, dans une première approximation, les valeurs des inconnues à celles qu'on obtient quand on substitue à chaque coefficient périodique sa valeur moyenne. Alors, à la place des équations données, se présentent des équations auxiliaires à coefficients constants, auxquelles on satisfait en supposant les diverses inconnues proportionnelles à une seule exponentielle caractéristique, dont l’argument est fonction linéaire des variables indépendantes; puis, en admettant que les séries obtenues soient convergentes, on trouve, pour valeurs définitives des inconnues, des produits de deux facteurs dont l’un est une exponentielle caractéristique propre à vérifier le système des équations auxiliaires, l’autre facteur de chaque produit étant un coefficient périodique.

Il est bon d'observer que, à la recherche des intégrales élémentaires propres à vérifier les équations linéaires données, on pourra, si l'on veut, substituer la recherche des coefficients périodiques renfermés dans ces intégrales, ces coefficients devant eux-mêmes satisfaire à d’autres équations linéaires qu'il sera facile d'obtenir.

Observons enfin que les diverses exponentielles caractéristiques, propres à vérifier le système des équations auxiliaires, seront immédiatement fournies par l'équation caractéristique correspondante au système dont il s’agit.

(1) Ainsi, par exemple, la fonction périodique

heïxi k + hetxi

à pour valeur moyenne zéro, ou l'unité, suivant que le module de est supérieur ou inférieur au module de k.

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des systèmes de points materiels.