MO —M

et méme on pourra, dans le second membre de l'équation (15), remplacer la fonction @ par sa valeur moyenne relative à un ou à plusieurs des trois angles ©, y, %, ou plus généralement par une moyenne quelconque entre

plusieurs valeurs de cette fonction.

Corollaire I. — Supposons, pour fixer les idées, O—f(ux + vy +wz),

u, v, æ étant des paramètres quelconques. La formule (15) donnera

JL f[u(axz+6y+ysz)+v(a x +6 y+ys)+w(a"xz+6"y+7":)] (17) = ALf(ux+vy+ws).

OEuvres de C. — S.1,t. XI.

D'ailleurs, si l’on pose

kK= u?+ p?+ 1, u (CRE * DE 0 avec les demi-axes des coordonnées positives, et en déplaçant l’axe

seront les cosinus des angles formés par une certaine droite

des æ de manière à le faire coïincider avec la“droite dont il s’agit, on

réduira le trinôme UT + 4 À + WS5

à la forme £x. On aura donc encore, en vertu du théorème I, (18) - Mf(ux+vry+wz)—=Mf(kxr).

Enfin, en prenant pour axe polaire l’axe des æ, et considérant « seul

comme variable dans la fonction f(#ræ), on aura (19) Mf(kAz)—=AMf(Ara),

la valeur de 7? étant = 2i+ Y+ 2°.

Donc la formule (16) donnera (20) Mffu(az+6y+ys)+vo(x x +6'y +y'3)+w(a"x +6/y+y'3)]=Mf(4ra)

ou, ce qui revient au même,

us us 1 p f [Tate +67 +78) + ee + 87473) +w(ate +6" y+ y'a) dy dy da (21) HR "/—Rv—1 —4n? | f(kra) da.

Ainsi la formule (20) réduit une intégrale triple à une intégrale simple. Quant à la formule (18), qui réduit une intégrale double à une intégrale simple, elle reproduit précisément le théorème à l’aide duquel M. Poisson a intégré l'équation du son.

Corollaire II. — A l’aide d’une rotation imprimée aux axes COOr-

donnés supposés rectangulaires, on peut les échanger entre eux de

manière à substituer aux axes des æ, y, z les axes des y, z, æ, ou des 3, æ, y. Done l'équation (15) entraîne la suivante : POME(L,7,3,2,:%,,5:.:)ÆOE(y;3,2,7, 5,2, ...)

(22) UMTS, Ts, ÿ Se.)

. En vertu de cette dernière équation, on aura, par exemple,

2 2 EE" 2 (23) M (at) = My) = M (a) = MELLE LT, (24) M(xr,)=NM(yy:) = (zz, = D NS REA "ApSe ri)

(25) ( AM(xzy,3,) = A yz,x,) = M (zx, y,), My, 3) = M (y3,x,) = M (2x, y,).

Corollaire III. — A l’aide d’une rotation imprimée à deux axes coor-

donnés autour du troisième, par exemple aux axes des y et z autour

de l’axe des æ, on peut changer à la fois les signes des coordonnées

mesurées sur ces deux axes, ou bien encore changer à la fois

Ys J' J'y? Ur en 3 8,5 Zys et

2 LA + Se # 4 #9 19 CRC en rs À

On aura donc, en vertu de l'équation (15), 6 Mira via AMP sy, Le, y Es) et (27). A F(z,7, 3, z,Ÿ, Zip) = F(L,3;— 2,5, —9,» 20). En vertu de l'équation (22), on aura (28) ONE PRISES.) =; si la fonction F(æ,y,z,x,y,,,,...) change de signe avec les coordonnées mesurées sur les axes de y, 3; et d’ailleurs, les axes des y, =

pouvant être remplacés ici par les axes des 3, æ ou des æ, y, il en résulte qu'on aura pour exemple

(29) AM(xz) — 0, AUV(xy) — 0, A (xyz) — 0,

En vertu de l'équation (22), on aura pour exemple (30) A(xy,3,) =—A(x7, :,).

Soit maintenant Er, r,r,)

le volume du parallélépipède construit sur les rayons vecteurs 7, r,,r,, ce volume étant pris avec le signe + ou avec le signe —, suivant que le mouvement de rotation de r en r, autour de r, est direct ou rétrograde ; on aura

(31) (r, Ty» r,) —LY,5, —XY, 3,+4,),23—2,Y23,+ L,VYE, — XL, Y,3; et les formules (25), (30) donneront

JC(zy,3,)—= Mi(zxz,y,3)= Mix, yz,) SU AU(xZY,:,) ms JU(X, 7, 3) = MU(Z, y, 3) + s ( ls PE

On peut encore, du théorème 1, déduire la proposition suivante :

TuÉORÈME IT. — Supposons que O=F(2,y;3,2,9m85 220

se réduise à une fonction entière des coordonnées x, y, 3, æ, Y,, 3, ..., de points matériels À, À, ...; soient toujours r, r,, ... les rayons vecteurs menés de l’origine à ces mêmes points, et, après avoir tracé les parallélogrammes qui ont pour côlés ces rayons vecteurs pris deux à deux, portons sur les perpendiculaires aux plans de ces parallélogrammes

les moments linéaires équivalents à leurs surfaces. Enfin soient

"| ! 1 " { T , ES 3, ZÆ, RE is vfète

les coordonnées des extrémités de ces moments linéaires, en sorte qu'on ait, par exemple,

mation de coordonnées qui introduit dans la valeur de @ les angles

polaires D, Y Ÿ. La valeur moyenne

de @ considéré comme fonction de l'angle polaire 4, se réduira toujours

à une fonction entière des seules coordonnées

SU er nv Li MU IN

et des trois coefficients à NN.

Corollaire. — On peut encore déduire immédiatement des théorèmes [et IT la proposition suivante :

TaéoRÈME IT, — Supposons DFI, 7,62, 7,8, .….)f(ux +vy+wzs),

u, , w étant trois paramètres quelconques, et Féæ, Mr D NY, 3, ...) une fonction entière des coordonnées x, Vs 3 Les Vis 3, ... Supposons

d’ailleurs, comme ci-dessus, KZ 3 + p3 + gt,

L'intégrale triple qui représentera la moyenne isotropique M0 pourra être réduite à une intégrale simple, et même on pourra la déduire de l'intégrale simple

I f(kræ) — cf f(kræ) da

par des différentiations relatives aux seules variabies x, Ys 3.

Je reviendrai, dans un prochain article, sur les théorèmes qui précèdent. J'examinerai aussi les diverses méthodes que l'on peut suivre pour les appliquer à la recherche des mouvements infiniment petits des systèmes isotropes, et je comparerai l'analyse et les formules exposées à ce sujet dans mes Exercices d'Analyse et dans le Mémoire lithographié de 1836, avec l’analyse et les formules remarquables de M. Laurent.

J'observerai, en terminant, que les moyennes isotropiques coincident avec celles qui résultent de la considération des polygones ou des polyèdres réguliers, et qui ont été considérées par M. Breton (de Champ) et par moi-même dans de précédents articles.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les douze équations qui déterminent les mouvements de translation, de rotation et de dilatation

d'un système de molécules.