C.R., T. XXX, p. 186 (25 février
Dans un Mémoire présenté à l’Académie le 18 novembre 1844 (*), je me suis occupé de la décomposition d’une fonction s de la variable x en facteurs de la forme 1 + Nx”, x étant un nombre entier quelconque et N un coefficient qui dépend de l’exposant ». J'ai considéré spécialement le cas où la fonction s peut se développer en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, et j'ai indiqué deux méthodes qui sont propres à fournir la décomposition désirée. Or, dans le cas dont il s’agit, ces deux méthodes seront encore applicables, si l’on veut décomposer la fonction s, non plus en facteurs de la forme 1 + Nx”, mais en facteurs de l’une des formes
(a+ aær)N, (1 — an),
Parmi les résultats auxquels on parvient en opérant ainsi, on doit distinguer ceux qu'on obtient lorsque, dans le développement de [(s) suivant les puissances entières et positives de +, le coefficient de x" se décompose en facteurs correspondants aux divers facteurs premiers de l’exposant 2. Alors les équations qui fournissent la décomposition de la fonction s en facteurs se simplifient, et comprennent,
(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. VIH, p. 311.
comme cas particuliers, les formules remarquables que M. Fedor Thoman à données dans un Mémoire approuvé par l’Académie.
ANALYSE
Soit s une fonction de +, développable, au moins pour un module de æ inférieur à une certaine limite, en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de æ, en sorte qu’on ait alors
(1) s=H,+H,z+Hz+....
Pour décomposer s en facteurs de la forme (1 + +") ou, ce qui revient au même, pour trouver les valeurs de #,, #,, 4,, ..., propres à vérifier la formule
(2) s=H,(i+z)h (it) (i+ a)...
il suffira de recourir à l’une des méthodes indiquées dans le Mémoire du 18 novembre 1844. Si, pour fixer les idées, on emploie la seconde méthode, alors, en posant, pour abréger,
H, H; 2 re REC (3) (re +...) =Ke+ke ion
on obtiendra l'équation
= kl(+xz)+kl(i+ x?) +...
DÉS LE ai TR ESRI EE MEME ERTRS 1 2 à: 3 31 4 22 à 1 es
à laquelle on satisfera en posant
(4) K,— #4, K= ko 2, Ki k+ hr
et, par suite,
(5) HR, Beth, H=k— 3h,
Or ilest clair que les équations (4) et (5) pourront servir à déter-
miner, non seulement les coefficients K,, K,, K,, ..…., lorsqu'on connaitra les exposants #,, #,, #,, ..., mais encore les exposants #,, 4, k,, ..., lorsqu'on connaîtra les coefficients K,, K,, K,,
Concevons maintenant que, dans le second membre de l'équation (2), l'exposant #, du binôme 1 + x” soit lié à l’exposant », de telle sorte que #, se décompose en facteurs correspondants aux divers facteurs premiers de 2. Désignons, pour plus de commodité, par a, b, c, .. les nombres premiers
3 5, j a étant égal à 2, et posons (6) n —akbhc"..., (7) RENE Gb
a), by, ©, ... étant les facteurs de N correspondants aux facteurs a?, D, c', ... de n. Soit encore
(8) m — atb6cY...,
«, 6, y, ... étant des entiers quelconques; et, en supposant
(9) An NE M PT:
nommons M un coefficient variable avec m, et déterminé par le système des équations
(10) mM = A,BeC,...,
Aa té B=6 | ie Oh Az S (1): ta ot, Be S b,6r, Ge
On aura, K,, étant égal à M,
ma (12) Mr tie +:..—= 5 Mz”,
m =1 M se réduisant à l'unité en même temps que lexposant », et le signe S s'étendant, dans la formule (12), à toutes les valeurs entières
et positives de 72; puis on trouvera, sous la même condition, eu égard aux formules (2) et (3),
S mm — © (13) 1(7-)= S Mzx” H, m1 $ par conséquent, "SM ss (14) s—=H,e"- *
Or, en vertu de l’équation (10), que l’on peut mettre sous la forme
# ; A, RS Be Cy (19) Me
M sera évidemment décomposable en facteurs correspondants aux divers facteurs a”, b5, c*, ... du coefficient 72. Ajoutons que, si l’on pose, pour abréger,
(106) ma = by, PT ET AE Ep < la formule (15) sera réduite à (17) M = dy ee,....
Réciproquement, si le coefficient M de æ”* dans le développement de 1(s) se réduit à l’unité pour »m — 1, et se décompose généralement pour m>I en facteurs dus V6, Lys -.. Correspondants aux facteurs a*, b5, c*, .. de m, alors, en attribuant successivement, dans les formules (11), à chacun des nombres «&, 6, y, ... les valeurs 1, 2, 3, ..., on déduira de ces formules, jointes aux équations (9), (16) et (7), les valeurs successives de #,, 4,, #,, ...; et en posant toujours
n — akbkc":.., on aura
CAC) Ar At D) vb, e Eh (18) k= (a+ nr ue) (ur, — + ) (a, a).
Alors aussi les formules (2) et (14) donneront
m=%x Mar
(19) em = (1+ PAL (+) (i1+ xi)hs...,
la valeur générale de #, étant déterminée par le système des formules (6) et (18).
Exemple I. — Si l'on veut avoir
m= SO Mar—= x, m=t!
il suffira que M, en se réduisant à l'unité pour rm» — 1, s'évanouisse toujours pour »# > 1. Alors 43, 14, ©,, ... se réduiront toujours à l’unité pour des valeurs nulles des indices À, ge, v, ... et à zéro pour des valeurs positives de ces mêmes indices ou de quelques-uns d’entre eux. Donc, par suite, en nommant 0 le nombre des facteurs premiers, impairs et inégaux de », on tirera de la formule (18)
= 0, si l’un des facteurs p, v, ... surpasse l'unité; I . 4 LA x , 0 7 . »
ka =(— Dr Sift, v, ..., étant égaux à l'unité, À s’évanouit; enfin ah 1 : ‘ Ts | At D ) si 4, y, ..., étant égaux à l'unité, À est positif.
Alors aussi l'équation (19), réduite à la forme
CR ess ti RENE 247 Qt a) (re æt)À (i SORTE CR
coincide avec la première des formules de M. Thoman.
Exemple II. — Si l’on veut avoir
S Maz—xm+rx tait at... — S m=1 I— ZX
VA
il suffira que les nombres &;, y e,, ... se réduisent tous à l'unité, non seulement pour des valeurs nulles, mais encore pour des valeurs positives des indices À, 4, v, ...; et par suite les formules (18), (19) donneront
(21) | k=(i+i)(z)( he
es 3
2 # (22) = (+a)(i+a) (+) +at}(i+ a) (1+ a)...
Œuvres de C.— S.1,t.XI. 30
Si, dans les formules jusqu'ici obtenues, on remplace les binômes de la forme 1 + æ* par des binômes de la forme 1 — x”, on obtiendra de nouvelles formules analogues à celles que nous avons trouvées. Ainsi, par exemple, en supposant toujours qu’à la valeur de »2 déterminée par l'équation (8) correspond la valeur de M déterminée par l'équation (17), on obtiendra, au lieu de l'équation (19), la suivante
m=2 S Max”:
(23) e me
= (1m) — ds) — æ3)fs...,
la valeur de #, étant
La formule (23), dans le cas où-l’on pose
In = ©
S Mz"=—= 2x,
fournit la seconde des équations données par M. Thoman. Il est bon d'observer que les formules (19) et (23) supposent l’une et l’autre la convergence des séries dont les termes généraux sont
Aer RL #4, 07,
ASTRONOMIE. — Rapport sur un Mémoire intutule : Méthode pour calculer les éléments des planètes, ou plus généralement des astres dont les orbites sont peu inclinées à l'écliptique, fondée sur l'emploi des dérivées, relatives au temps, des trois premiers ordres de la longitude géo-
centrique et du premier ordre de la latitude; par M. YvoN VinLaARGEAU.
