C.R., T. XXX, p. 426 (15 avril

On sait que, dans le mouvement elliptique d’une planète autour du

Soleil, le rayon vecteur, l’anomalie vraie et l'anomalie excentrique dépendent du temps £ et de trois éléments, qui sont le demi grand axe, l’excentricité et l’époque du passage de la planète au périhélie. Si à ces trois premiers éléments on joint la longitude du périhélie mesurée dans le plan de l'orbite, la longitude du nœud ascendant mesurée dans le plan de l’écliptique et l’inclinaison du plan de lorbite sur le plan de l’écliptique, on obtiendra le système des six éléments du mouvement elliptique de la planète.

D'autre part, le mouvement effectif de la planète se trouve lié à son mouvement apparent vu de la Terre par trois équations de condition qui renferment avec les deux derniers éléments sept quantités variables, savoir : les distances de la planète au Soleil et à la Terre, sa longitude et sa latitude géocentriques, sa longitude mesurée dans le plan de son orbite et la longitude héliocentrique de la Terre. De ces quantités variables, trois seulement sont inconnues, savoir : la longitude de la planète mesurée dans le plan de son orbite et les distances de la planète au Soleil et à la Terre. Enfin, de ces trois inconnues, les deux premières peuvent être considérées comme fonctions du temps et des quatre premiers éléments. Donc, si l’on élimine, entre les trois équations de condition, la distance de la planète à la Terre, les deux équations restantes pourront être censées ne renfermer d’autres inconnues que les six éléments. Le système de ces deux équations pourra donc servir à déterminer les six éléments, si l’on en tire trois systèmes semblables, en l’appliquant à trois observations distinctes. Si les trois observations se rapprochent indéfiniment l’une de l’autre, le système des formules obtenues sera équivalent à celui auquel on parviendrait en joignant aux deux équations ici mentionnées leurs dérivées du premier et du second ordre, fournies par des différentiations relatives au temps. Il en résulte qu'on pourra réduire la détermination des six éléments et, par suite, d'une inconnue quelconque, à la détermination des longitude et latitude géocentriques de la planète et de leurs dérivées du premier et du second ordre.

Concevons en particulier que l’on prenne pour inconnue la distance r de la planète au Soleil. Pour réduire la détermination de cette inconnue à celle des longitude et latitude géocentriques et de leurs dérivées du premier et du second ordre, il faudra commencer par éliminer les six éléments de l'orbite entre les deux équations de condition ci-dessus indiquées et leurs dérivées du premier et du second ordre. Or on évitera cette élimination, si aux équations dont il s’agit on subsitue les trois équations différentielles du mouvement de la planète qui ne renferment aucun élément, et si, après y avoir exprimé les coordonnées rectangulaires de la planète par rapport au centre du Soleil pris pour origine, en fonction de la distance de la planète à la Terre, ou de la projection p de cette distance sur le plan de l’écliptique, on élimine entre les trois équations trouvées les dérivées de p ” du premier et du second ordre. En effet, en opérant ainsi, on obtiendra entre les inconnues o et 7 une équation unique, de laquelle on pourra chasser à volonté l’inconnue p ou l’inconnue r, à l’aide de la formule trigonométrique déduite de la considération du triangle qui a pour sommets la planète, le Soleil et la Terre. On retrouvera de cette manière l’équation connue qui s’abaisse au septième degré, quand on la débarrasse d’un facteur étranger à la question.

En résumé, la détermination des éléments de l'orbite d’une planète peut être réduite à la détermination des valeurs qu'acquièrent à une époque donnée ses longitude et latitude géocentriques et leurs dérivées du premier et du second ordre, et à la résolution d’une équation du septième degré. Toutefois, cette réduction suppose que la planète se meut hors du plan de l’écliptique. Si elle décrivait une orbite renfermée dans ce même plan, il n’y aurait plus lieu à considérer ni la longitude du nœud ascendant, ni inclinaison; par suite, les éléments inconnus du mouvement elliptique seraient au nombre de quatre seulement; et en même temps les équations de condition par lesquelles le mouvement effectif de la planète se trouve lié à son mouvement apparent vu de la Terre se réduiraient à deux. Donc, en éliminant entre ces deux équations la distance de la planète à la Terre, on

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EXTRAIT Ne 461. 237

obtiendrait une équation unique qui pourrait être censée ne renfermer d’autres inconnues que les quatre éléments. Pour déduire de cette équation unique les quatre éléments dont il s'agit, il faudrait la transformer en quatre équations diverses, en l’appliquant successivement à quatre observations distinctes. Si d’ailleurs ces quatre observations se rapprochent indéfiniment l’une de l’autre, le système des formules obtenues sera équivalent à celui auquel on parviendrait en joignant à l'équation ici mentionnée ses dérivées du premier, du deuxième et du troisième ordre, fournies par des différentiations relatives au temps. Il en résulte que, dans l’hypothèse admise, on pourra réduire la détermination des quatre éléments, et, par suite, d'une inconnue quelconque, à la détermination de la longitude géocentrique de la planète et de ses dérivées du premier, du deuxième et du troisième ordre.

Concevons, en particulier, que l’on prenne pour inconnue la distance r de la planète au Soleil. Pour réduire la détermination de cette inconnue à celle de la longitude géocentrique et de ses dérivées des trois premiers ordres, il faudra commencer: par éliminer les quatre éléments entre l'équation de condition ci-dessus indiquée et ses dérivées des trois premiers ordres. Or on évitera cette élimination, si à l'équation dont il s’agit on substitue : 1° les deux équations différentielles du mouvement de la planète qui ne renferment aucun élément; 2° les dérivées du premier ordre de ces mêmes équations, et si, après y avoir exprimé les coordonnées rectangulaires de la planète par rapport au centre du Soleil pris pour origine en fonction de la distance 6 de la planète à la Terre, on élimine la première dérivée de r et les dérivées de 9 des trois premiers ordres, entre les quatre équations trouvées et la dérivée de la formule trigonométrique déduite de la considération du triangle qui a pour sommets la planète, le Soleil et la Terre. En effet, en opérant ainsi, on obtiendra entre les inconnues r et p une équation unique de laquelle on pourra chasser, à l’aide de la formule trigonométrique, ou l'inconnue 9 ou l’inconnuer. On se trouvera conduit, de cette manière, à une équation en rouenp,

qui sera du dix-huitième degré et s’abaissera au dix-septième, quand on la débarrassera d’un facteur étranger à la question.

Ainsi, quand l'orbite de la planète que l’on considère est comprise dans le plan de l’écliptique, on obtient, pour déterminer la distance r de la planète au Soleil, non plus l'équation connue du septième degré qui devient insuffisante, et laisse indéterminée la valeur de cette distance, mais une équation du dix-septième degré.

Si l'orbite de la planète, sans être rigoureusement comprise dans le plan de l’écliptique, est très peu inclinée sur ce plan, alors, en opérant comme dans le cas où l’inclinaison est nulle, on obtiendra entre les inconnues r et o une équation qui renfermera, outre la longitude séocentrique de la planète et ses dérivées des trois premiers ordres, la latitude géocentrique et sa dérivée du premier ordre; et cette dernière équation, qui mérite d’être remarquée, sera celle qu’a donnée M. Villarceau, dont nous venons précisément d'indiquer la méthode. En éliminant l’inconnue p entre cette dernière et la formule trigonométrique déduite de la considération du triangle qui a pour sommets les trois astres, l’auteur obtient, comme dans le cas précédent, une équation en r réductible au dix-septième degré.

M. Villarceau a indiqué deux cas particuliers, dans lesquels la nouvelle équation se trouve notablement simplifiée. Ces cas sont celui où la planète est stationnaire en longitude, et celui où on lobserve à l’époque de l'opposition. Dans le premier cas, l'équation finale en bp peut être aisément résolue à l’aide d’une élégante construction donnée par M. Binet. |

Quant à la détermination des dérivées des longitude et latitude géocentriques, M. Villarceau l’effectue à l’aide de la formule générale d’interpolation donnée par l’un de nous en 1835.

Enfin M. Villarceau, pour ne laisser aucun doute sur l'utilité de sa nouvelle formule, l’a spécialement appliquée, en terminant son Mémoire, au calcul des éléments corrigés de l'orbite de la planète Iris.

Les Commissaires pensent que le Mémoire de M. Villarceau est

digne de l'approbation de l'Académie; ils proposeraient de l’insérer dans la collection des Savants étrangers, si l’auteur ne l'avait destiné à un autre Recueil.

THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — Note sur l'intensité de la lumière dans les rayons

réfléchis par la surface d’un corps transparent ou opaque.