PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE II. kd

§ II. — De la continuité des fonctions.

Parmi les objets qui se rattachent à la considération des infiniment petits, on doit placer les notions relatives à la continuité ou à la discontinuité des fonctions. Examinons d'abord sous ce point de vue les fonctions d'une seule variable.

Soit/(^) une fonction de la variable x, et supposons que, pour chaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données, cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en partant d'une valeur de x comprise entre ces limites, on attribue à la variable X un accroissement infiniment petit a, la fonction elle-même recevra pour accroissement la différence

qui dépendra en même temps de la nouvelle variable a et de la valeur de X. Cela posé, la fonction /(x) sera, entre les deux limites assignées à la variable x, fonction continue de cette variable, si, pour chaque valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la différence

décroît indéfiniment avec celle de a. En d'autres termes, la fonction/(x) restera continue par rapport à x entre les limites données, si, entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.

On dit encore que la fonction /(ic) est, dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à la variable x, fonction continue de cette variable, toutes les fois qu'elle est continue entre deux limites de X, même très rapprochées, qui renferment la valeur dont il s'agit.

Enfin, lorsqu'une fonction /(^) cesse d'être continue dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable x, on dit qu'elle devient alors discontinue et qu'il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.

D'après ces explications, il sera facile de reconnaître entre quelles

limites une fonction donnée de la variable x est continue par rapport

à cette variable. Ainsi, par exemple, la fonction sino;, admettant

pour chaque valeur particulière de la variable x une valeur unique et

tinie, sera continue entre deux limites quelconques de cette variable,

attendu que la valeur numérique de sin(^a), et par suite celle de la

différence

sin(^ + a) — sin^ziz 2 sin(|a) cos(^ -h |a),

décroissent indéfiniment avec celle de a, quelle que soit d'ailleurs la valeur finie que l'on attribue à x. En général, si l'on envisage sous le rapport de la continuité les onze fonctions simples que nous avons considérées ci-dessus (Chap. I, § II), savoir

a + ^, a — Xy ax, -, x'^, \^, L{x), smx, cos^, arcsin^r, arccos^,

on trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux limites finies de la variable x, toutes les fois que, étant constamment réelle entre ces deux limites, elle ne devient pas infinie dans l'intervalle.

Par suite, chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage d'une valeur finie attribuée à la variable Xy si cette valeur finie se trouve comprise :

Pour les fonctions

A* sina?

coso? /

Pour la fonction

entre les limites x=^ — oo, ^ = + 00;

I" entre les limites x-=. — cc, x=zo, ^ \ 2» entre les limites x:=o, xzizao;