PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IL

enfin

Pour les fonctions

arcsin^ arccosj;

entre les limites sc = o, x=:cc;

entre les limites ^=— i, ^7 = 4-1.

Il est bon d'observer que, dans le cas où l'on suppose a — ±m(jn désignant un nombre entier), la fonction simple

est toujours continue dans le voisinage d'une valeur finie de la variable Xy pourvu que cette valeur soit comprise :

sia=;+m, entre les limites x ■= — 00, ^=1 + 00,

/ entre les limites x=. — 00, x=io

si a = — m, \ ou bien

\ entre les suivantes ^ = o, a?:=oo.

Parmi les onze fonctions que l'on vient de citer, deux seulement deviennent discontinues pour une valeur de x comprise dans l'intervalle des limites entre lesquelles ces mêmes fonctions restent réelles. Les deux fonctions dont il s'agit sont

— et x'^ (lorsque a:=—m).

L'une et l'autre deviennent infinies, et par conséquent discontinues, pour a; = o.

Soit maintenant

une fonction de plusieurs variables x, y, z, .. ., et supposons que, dans le voisinage de valeurs particulières X, Y, Z, ... attribuées à ces

variables, /( 07, j, 5, . . . ) soit à la fois fonction continue de a?, fonction continue dey, fonction continue des,.... On prouvera aisément que, si l'on désigne par a, C, y, . .. des quantités infiniment petites, et si l'on attribue kx, y, z, ... les valeurs X, Y, Z, . . . ou des valeurs très voisines, la différence

f{œ -h a, y + ë, z -h y) — f{iv, y, z, ...)

sera elle-même infiniment petite. En efTet, il est clair que, dans l'hypothèse précédente, les valeurs numériques des différences

/(a:-f-a, j, z, ...)—/{a:,y,z, ...), /(^-ha, y 4- 6, z, ...) — /(or + a, 7, z, ...), /(^-Ha, 7 + ê, z-hy, . . .) — f{x + a, y -^ë, z, ...),

décroîtront indéfiniment avec celles des quantités variables a, €, y, . . . , savoir, la valeur numérique de la première différence avec la valeur numérique de a, celle de la seconde différence avec la valeur numérique de ê, celle de la troisième avec la valeur numérique de y, et ainsi de suite. On doit en conclure que la somme de toutes ces différences, savoir ■

convergera vers la limite zéro, si a, ê, y, ... convergent vers cette même limite. En d'autres termes,

f{x-\-a., /4-ê, z-\-y, ...) aura pour limite

La proposition qu'on vient de démontrer subsiste évidemment dans le cas même où l'on établirait entre les nouvelles variables a, ê, y, ... certaines relations. Il suffit que ces relations permettent aux nouvelles variables de converger toutes en même temps vers la limite zéro. Lorsque, dans la même proposition, on remplace a;, y, 2, ... par