PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE II. ki

de l'ordre n', qui finit par obtenir constamment une valeur numérique inférieure à celle d'un infiniment petit de l'ordre n.

Théorème V. — Lorsque, dans le polynôme

aa''-\- b<x."'-\- ca(J^"-\- . . .,

ordonné suivant les puissances ascendantes de ce., le degré n! du second terme est un nombre impair, ce polynôme, pour de très petites valeurs numériques de a, est tantôt supérieur et tantôt inférieur à son premier terme «a'^, suivant que la variable cl et le coefficient h sont de même signe ou de signes contraires.

Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise, la somme des termes qui suivent le premier, savoir

sera, pour de très petites valeurs numériques de a, de même signe que chacun des deux produits 6a"', 6a.

Théorème VI. — Lorsque, dans le polynôme

ordonné suivant les puissances ascendantes de ce, le degré n' du second terme est un nombre pair, ce polynôme, pour de très petites valeurs numériques de ce, finit par devenir constamment supérieur à son premier terme, toutes les fois que b est positif et constamment inférieur, toutes les fois que b est négatif.

Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise, la somme des termes qui suivent le premier aura, pour de très petites valeurs numériques de d, le signe du produit 6a"', et, par suite, le signe de b.

Corollaire. — En supposant, dans le théorème qui précède, n = o, on obtiendra la proposition suivante :

Théorème VII. — Si, dans le polynôme

a + b a"'-t- cct."'-\- . . .,

ordonné suivant les puissances ascendantes de Cf., n' désigne un nombre

OEuvres de C. — S. H, t. UI. 6

pair; parmi les valeurs de ce polynôme correspondantes à des valeurs infiniment petites de ce, celle qui correspond à ce = o, c est-à-dire a, sera toujours la plus petite, lorsque b sera positif, et la plus grande, lorsque b sera négatif.

Cette valeur particulière du polynôme, plus grande ou plus petite que toutes les valeurs voisines, est ce qu'on appelle un maximum ou un minimum.

Les propriétés des quantités infiniment petites étant établies, on en déduit les propriétés analogues des quantités infiniment grandes, en observant que toute quantité variable de cette dernière espèce

peut être représentée par -> a désignant une quantité infiniment

petite. Ainsi, par exemple, lorsque, dans le polynôme

ordonné suivant les puissances descendantes de la variable x, cette variable devient infiniment grande ; en la mettant sous la forme -> on réduit le polynôme dont il s'agit à

" H--a+-a"-'H-...H oc'"-' H- - oc'

et l'on reconnaît alors immédiatement que, pour de très petites valeurs numériques de a, ou, ce qui revient au même, pour de très grandes valeurs numériques de a?, ce polynôme est de même signe que son premier terme

— r= ax' a"»

Comme cette remarque subsiste dans le cas même où quelques-unes des quantités b, c, ..., h, k se réduisent à zéro, il en résulte qu'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème Vin. — Lorsque, dans un polynôme ordonné suivant les puissances descendantes de la variable x, on fait croître indéfiniment la valeur numérique de cette variable, le polynôme finit par être constamment de même signe que son premier terme.