PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII

vérifier, on écrit, au lieu de u(x) ou de cj(.t, y, :■, . . .),

après avoir développé les doux membres, puis égalé de pari et d'autre les parties réelles et les coefficients de y — i > on obtiendra deux équations réelles entre les fonctions inconnues u et v. La résolution de ces dernières équations, lorsqu'elle pourra s'eff'ectuer, fera connaître les valeurs explicites de u et de t', et, par suite, la valeur explicite de l'expression imaginaire

Pour qu'une fonction imaginaire d'une seule variable soit complètement déterminée, il est nécessaire et il suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire la valeur correspondante de la fonction. Quelquefois, pour chaque valeur de la variable, la fonction donnée en obtient plusieurs diff^érentes les unes des autres. (Conformément aux conventions précédemment admises, nous désignerons ordinairement ces valeurs multiples d'une fonction imaginaire par des notations dans lesquelles nous ferons usage de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi, par exemple,

\VC0S5 -H ^Z— I ainz

OU

((cos^ + \/— I sin^))"

indiquera l'une quelconqne des racines du degré n de l'expression

imaginaire

ces:; 4- v^— i è'inz,

§ II. — Sur les expressions imaginaires infiniment velites et sur la continuité des fonctions imaginaires.

Une expression imaginaire est appelée infiniment petite, lorsqu'elle converge vers la limite zéro, ce qui suppose que, dans l'expression donnée, la partie réelle et le coefficient de \l — i convergent en même

temps vers cette limite. C.ela posé, représentons par

a + 6 y' — I == p(cos9 + V — 1 sinS)

une expression imaginaire variable, a, ê désignant deux quantités réelles auxquelles on peut substituer le module p et l'arc réel 0. Pour que cette expression soit infiniment petite, il sera évidemment nécessaire et suffisant que son module

p zzr- y y.- -r- S"

soit lui-même infiniment petit.

Une fonction imaginaire de la variable x supposée réelle est appelée continue entre deux limites données de cette variable lorsque, entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Il en résulte que la fonction imaginaire

sera continue entre deux limites de x si les fonctions réelles cp(^) et 7,(^) restent continues entre ces limites.

On dit qu'une fonction imaginaire de la variable x est, dans le voisinage d'une valeur particulière de x, fonction continue de cette variable toutes les fois qu'elle reste continue entre deux limites même très rapprochées qui renferment la valeur dont il s'agit.

p]nfin, lorsqu'une fonction imaginaire de la variable x cesse d'être continue dans le voisinage d'une valeur particulière de cette variable, on dit qu'elle devient alors discontinue, et qu'il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.

En partant des notions qu'on vient d'établir relativement à la continuité des fonctions imaginaires, on reconnaîtra facilement que les théorèmes I, II et III du Chapitre II (§ II) subsistent dans le cas même où l'on remplace les fonctions réelles

f{x) el f{jc,y,z, ...)

PREMIÈRK PARTIE. - CHAPITRE VIÏI. 213

par des fonctions imaginaires

On peut, en conséquence, énoncer les propositions suivantes :

TiiFiORKME I. — si les variables réelles x, y, z, ... ont pour limites les quantités fixes et déterminées X, Y, Z, ..., et que la fonction imaginaire

soit continue par rapport à chacune des variables x, y, z, ... dans le voisinage du système des valeurs particulières

r^(^x,y, 5, . . .) + y^{''^',y, ^. . • .) \/ — I aura pour limite 9(X,Y,Z, ...) + x(X,Y,Z, ...)v/^^, ou, si l'on/ait, pour abréger,

V5(x,y, z, . . .) aura pour limite

tn(X,Y,Z, ...).

Théorème II. — Désignons par x, y, z, ... plusieurs fondions réelles de la variable t, qui soient continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur réelle / = T. Soient de plus X, Y, Z, ... les valeurs particulières de x, y, z, ... correspondantes à t :=!, et supposons que, dans le voisinage de ces valeurs particulières, la fonction imaginaire

soit en même temps continue par rapport à x, par rapport à y, par rapport à z, etc. ; cy(j7, y, 5, . . .), considérée comme une fonction imaginaire de t, sera encore continue par rapport à t, dans le voisinage de la valeur particulière ^ = T.

Si, dans le théorème précédent, on réduit les variables a-, y, z, ... à une seule, on obtiendra l'énoncé suivant :

Théorème III. -- Supposons que dans V expression

la variable x soit fonction réelle d'une autre variable t. Concevons de plus que la variable x soit fonction continue de t dans le voisinage de la valeur particulière t ^^^T, et es (x) fonction continue de x dans le i^oisinage de la valeur particulière x^=\, correspondante ri / = T. L'expression imaginaire u(^x), considérée comme une fonction de t, sera encore continue par rapport à cette variable dans le V'oisinage de la valeur particulière ^ = T.

§ III. — Des fonctions imaginaires sy métriques ^ alternées ou homogènes.

En étendant aux fonctions imaginaires les définitions que nous avons données (Chapitre III) des fonctions symétriques, ou alternées, ou homogènes de plusieurs variables j?, j, z-, ..., on reconnaît immédiatement que

est une fonction symétrique, ou alternée, ou homogène du degré a j)ar rapport aux variables x, y, z, . . . , lorsque les fonctions réelles

sont l'une et l'autre symétriques, ou alternées,, ou homogènes i[\\ degré a par rapport, à ces mêmes variables.

§ IV. — Sur les fonctions imaginaires et entières d'une ou de plusieurs variables.

En vertu de ce qui a été dit ci-dessus (§ I),

et