PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII

sont deux fonctions imaginaires et entières, l'une de la variable x, l'autre des variables x, y, z, . . . , lorsque

9(^) et x{,Tc), ^{x,y,z,...) et x^x,y,z, ...)

sont des fonctions réelles et entières de ces mêmes variables. Par suite, si cj(^) représente une fonction imaginaire et entière de la variable x, la valeur de C7(^) sera déterminée ])ar une équation de la forme

Tîi{x)-=i(^{x) -\-j{x')\j — I

=: <7o4- «1^ + rt,^2+ . . . + (60+ h^x -\- biX^-~- . . .) \J— 1 ,

cIq, a^, rto, ..., Aq, l>Ky h.>, ... désignant des constantes réelles. On conclura de cette équation, en réunissant les coefficients des puissances semblables de x,

Pour que la fonction ct(^), déterminée par la formule précédente, s'évanouisse avec x, il faut que l'on ait

c'est-à-dire «^ = o et h^^ = o, auquel cas la valeur de ct(x') se réduit i\

v:j{x) -- {ai-h bi \J— i),r + (ao-h b^s/ — i)x'^-h ■ ■ . = x[ai->r bi s/— 1 + («2-:- f^iS/— i)'^' +•••]•

Ainsi, toute fonction imaginaire et entière de la variable x, lorsqu'elle s'évanouit avec cette variable, est le produit du facteur x par une seconde fonction de la même espèce ou, en d'autres termes, est divisible par X. En partant de cette remarque, on étendra facilement les théorèmes I et H du Chapitre IV (§ I) au cas où les fonctions entières qui s'y trouvent mentionnées sont en même temps imaginaires. J'ajoute que ces deux théorèmes subsisteront encore si l'on y remplace les valeurs particulières et réelles attribuées ti la variable a?, telles que

par des variables imaginaires

«o+SoV'— I, «i + êiy/— I, 0{2+ê2\/— I, ••••

Pour démontrer cette assertion, il suffit d'établir les deux propositions suivantes :

Théorème I. — Si une fonction imaginaire et entière de la variable x s'évanouit pour une valeur particulière de cette variable, par exemple pour

^ = «0 + êo \f^ ,

cette fonction sera divisible algébriquement par

cr — «0 — êo V^— I .

Démonstration. — En effet, soit la fonction imaginaire dont il s'agit. Si l'on y fait

•^ = oco 4- êo \J— I + z,

z désignant une nouvelle variable, on obtiendra évidemment pour résultat de la substitution une fonction imaginaire et entière de z., savoir

et, comme cette fonction de^ devra s'évanouir pour :; = o, on en conclura que

est divisible par

z^= oC — iXo — Sq \/ — I .

Corollaire L — La proposition précédente subsiste dans le cas même où la fonction y (^) s'évanouit, c'est-à-dire dans le cas où ts(œ) se réduit à une fonction réelle ^(x).

Corollaire IL — Le théorème précédent subsiste encore lorsqu'on