PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII

suppose ê = o, et par conséquent lorsque la valeur particulière attribuée à la variable x est réelle.

Théorème II. — Si une fonction imaginaire et entière de la variable x s évanouit pour chacune des valeurs particulières de x comprises dans la suite

n désignant un nombre entier quelconque, cette fonction sera équivalente au produit des facteurs

■3^ — «0 — êoV—i, ^ — ofi — êj v/— I, ^ — a,— Sav'— I, ..-., ^ a„i — ê„i y/— par une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable x. Démonstration. — Soit

la fonction proposée. Comme elle doit s'évanouir pour

^ = «0 + 6o y/— I , elle sera, en vertu du théorème I, algébriquement divisible par

X — a^—Q^sJ—i;

et l'on aura, en conséquence,

(2) cj(a^) — (^a^g^y/~^)Q^,

Qo désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable X. La fonction X3(^x) devant s'évanouir encore lorsqu'on suppose

a; = a, + êi \J — I ,

cette supposition réduira nécessairement à zéro le second membre de l'équation (2), et, par conséquent, l'un des deux facteurs qui le composent {voir le Chapitre VII, § II, théorème VII, corollaire II). De

OEuvres de C— S.\\,X.\\\. 28

plus, comme le premier facteur

ne peut devenir nul pour

^ L— a,-f- Si \/— I ,

tant que les valeurs particulières

sont distinctes l'une de l'autre, il est clair qu'en attribuant k x la seconde de ces deux valeurs, on devra réduire à zéro la fonction entière Qo, et, par suite, que cette fonction entière sera divisible algébriquement par

.r — «1 — êi V^— I •

On aura donc

Qo= (^ - a, — êi v^— i) Qu

Q, désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable a?; en sorte que l'équation (2) pourra se mettre sous la forme

(3) 5T(.r) = (a.- — «0— êov/— OC'^ — «i~- ^1 V'— ')Qi-

En raisonnant comme on vient de le faire, on trouvera : i" que, la fonction tô(ic) devant s'évanouir en vertu de la supposition

cette supposition réduit nécessairement à zéro le second membre de l'équation (3), et, par conséquent, l'un de ses trois facteurs; 2° que le facteur réduit à zéro ne peut être que la fonction entière Q,, tant que les trois valeurs particulières de x, désignées par

■ «0 + êo \/— I , «1 -^- s, y/— I , «2-1- §2 \/— I ,

sont distinctes l'une de l'autre; 3° que la fonction entière Q,, devant s'évanouir pour